สมบัติของจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม (Integer System) มีสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เป็นจริงเสมอ ซึ่งเปรียบเสมือน "กฎจราจร" ของการคำนวณ การเข้าใจสมบัติเหล่านี้จะช่วยให้เราสามารถคิดเลขในใจได้เร็วขึ้น จัดรูปสมการให้ง่ายลง และหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ซับซ้อนได้

The integer system has mathematical properties that always hold true, acting like the "traffic rules" of calculation. Understanding these properties helps us perform mental math faster, simplify equations, and avoid errors in complex calculations.

🔁 สมบัติการสลับที่ 🔁 Commutative Property

สมบัติการสลับที่ (Commutative Property) ระบุว่า การสลับตำแหน่งของจำนวนเต็มสองจำนวน สำหรับการบวกและการคูณ จะไม่ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลง

$$ \text{การบวก: } {\color{#2e7d32}a} + {\color{#ff6f00}b} = {\color{#ff6f00}b} + {\color{#2e7d32}a} $$ $$ \text{การคูณ: } {\color{#0097a7}a} \times {\color{#6a1b9a}b} = {\color{#6a1b9a}b} \times {\color{#0097a7}a} $$

⚠️ ** หมายเหตุ: สมบัตินี้ใช้ไม่ได้สำหรับการลบและการหาร **

Commutative Property states that swapping the position of two integers in addition and multiplication does not change the result.

$$ \text{Addition: } {\color{#2e7d32}a} + {\color{#ff6f00}b} = {\color{#ff6f00}b} + {\color{#2e7d32}a} $$ $$ \text{Multiplication: } {\color{#0097a7}a} \times {\color{#6a1b9a}b} = {\color{#6a1b9a}b} \times {\color{#0097a7}a} $$

⚠️ ** Note: This property does NOT apply to subtraction and division. **

Example 1.1

แสดงสมบัติการสลับที่สำหรับการบวก

$$ \begin{aligned} 15 + (-7) &= 8 \\ (-7) + 15 &= 8 \\ \text{ดังนั้น } 15 + (-7) &= (-7) + 15 \end{aligned} $$

Show the commutative property for addition.

$$ \begin{aligned} 15 + (-7) &= 8 \\ (-7) + 15 &= 8 \\ \text{Therefore, } 15 + (-7) &= (-7) + 15 \end{aligned} $$

Example 1.2

แสดงสมบัติการสลับที่สำหรับการคูณจำนวนลบ

$$ \begin{aligned} (-4) \times (-9) &= 36 \\ (-9) \times (-4) &= 36 \\ \text{ดังนั้น } (-4) \times (-9) &= (-9) \times (-4) \end{aligned} $$

Show the commutative property for multiplication of negative numbers.

$$ \begin{aligned} (-4) \times (-9) &= 36 \\ (-9) \times (-4) &= 36 \\ \text{Therefore, } (-4) \times (-9) &= (-9) \times (-4) \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาค่า $x$ จากสมการ $24 + x = -13 + 24$

$$ \begin{aligned} 24 + {\color{#c62828}x} &= -13 + 24 \\ {\color{#c62828}x} &= -13 \quad \text{(สลับที่การบวก)} \end{aligned} $$

Find $x$ in $24 + x = -13 + 24$.

$$ \begin{aligned} 24 + {\color{#c62828}x} &= -13 + 24 \\ {\color{#c62828}x} &= -13 \quad \text{(Commutative Property)} \end{aligned} $$

Example 1.4

ข้อควรระวัง: การลบ ไม่สามารถ สลับที่ได้

$$ \begin{aligned} 10 - 3 &= 7 \\ 3 - 10 &= -7 \\ \text{จะเห็นว่า } 10 - 3 &\neq 3 - 10 \end{aligned} $$

Caution: Subtraction is NOT commutative.

$$ \begin{aligned} 10 - 3 &= 7 \\ 3 - 10 &= -7 \\ \text{It is clear that } 10 - 3 &\neq 3 - 10 \end{aligned} $$

Example 1.5

ข้อควรระวัง: การหาร ไม่สามารถ สลับที่ได้

$$ \begin{aligned} 20 \div 5 &= 4 \\ 5 \div 20 &= \frac{1}{4} \\&= 0.25 \\ \text{จะเห็นว่า } 20 \div 5 &\neq 5 \div 20 \end{aligned} $$

Caution: Division is NOT commutative.

$$ \begin{aligned} 20 \div 5 &= 4 \\ 5 \div 20 &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25 \\ \text{It is clear that } 20 \div 5 &\neq 5 \div 20 \end{aligned} $$

🔗 สมบัติการเปลี่ยนหมู่ 🔗 Associative Property

สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (Associative Property) ระบุว่า เมื่อมีการบวกหรือคูณจำนวนเต็ม 3 จำนวนขึ้นไป เราสามารถเลือกจับคู่คำนวณคู่ใดก่อนก็ได้ โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายจะยังคงเท่าเดิมเสมอ

$$ \text{การบวก: } {\color{#c62828}(}{\color{#2e7d32}a} + {\color{#ff6f00}b}{\color{#c62828})} + {\color{#0097a7}c} = {\color{#2e7d32}a} + {\color{#c62828}(}{\color{#ff6f00}b} + {\color{#0097a7}c}{\color{#c62828})} $$ $$ \text{การคูณ: } {\color{#c62828}(}{\color{#2e7d32}a} \times {\color{#ff6f00}b}{\color{#c62828})} \times {\color{#0097a7}c} = {\color{#2e7d32}a} \times {\color{#c62828}(}{\color{#ff6f00}b} \times {\color{#0097a7}c}{\color{#c62828})} $$

💡 ประโยชน์: ช่วยให้เราเลือกจับคู่ตัวเลขที่คำนวณง่ายๆ (เช่น บวกกันได้ 10 หรือ 100) ก่อนได้

Associative Property states that when adding or multiplying three or more integers, the grouping of the numbers does not affect the final result.

$$ \text{Addition: } {\color{#c62828}(}{\color{#2e7d32}a} + {\color{#ff6f00}b}{\color{#c62828})} + {\color{#0097a7}c} = {\color{#2e7d32}a} + {\color{#c62828}(}{\color{#ff6f00}b} + {\color{#0097a7}c}{\color{#c62828})} $$ $$ \text{Multiplication: } {\color{#c62828}(}{\color{#2e7d32}a} \times {\color{#ff6f00}b}{\color{#c62828})} \times {\color{#0097a7}c} = {\color{#2e7d32}a} \times {\color{#c62828}(}{\color{#ff6f00}b} \times {\color{#0097a7}c}{\color{#c62828})} $$

💡 Benefit: Allows us to group numbers that are easier to calculate first (e.g., adding up to 10 or 100).

Example 2.1

แสดงสมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก

$$ \begin{aligned} (5 + 7) + 3 &= 12 + 3 \\ &= 15 \\[4pt] 5 + (7 + 3) &= 5 + 10 \\ &= 15 \\[4pt] \therefore (5 + 7) + 3 &= 5 + (7 + 3) \end{aligned} $$

Show the associative property for addition.

$$ \begin{aligned} (5 + 7) + 3 &= 12 + 3 \\ &= 15 \\[4pt] 5 + (7 + 3) &= 5 + 10 \\ &= 15 \\[4pt] \therefore (5 + 7) + 3 &= 5 + (7 + 3) \end{aligned} $$

Example 2.2

การนำไปใช้คิดในใจ: หาค่าของ $(-18) + 25 + (-2)$

$$ \begin{aligned} (-18) + 25 + (-2) &= [(-18) + (-2)] + 25 \\ &= (-20) + 25 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Mental math application: Evaluate $(-18) + 25 + (-2)$.

$$ \begin{aligned} (-18) + 25 + (-2) &= [(-18) + (-2)] + 25 \\ &= (-20) + 25 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Example 2.3

แสดงสมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ

$$ \begin{aligned} (2 \times 3) \times (-4) &= 6 \times (-4) \\ &= -24 \\[4pt] 2 \times (3 \times (-4)) &= 2 \times (-12) \\ &= -24 \\[4pt] \therefore (2 \times 3) \times (-4) &= 2 \times (3 \times (-4)) \end{aligned} $$

Show the associative property for multiplication.

Example 2.4

การนำไปใช้คิดในใจ: หาค่าของ $25 \times (-17) \times 4$

$$ \begin{aligned} 25 \times (-17) \times 4 &= (25 \times 4) \times (-17) \\ &= 100 \times (-17) \\ &= -1700 \end{aligned} $$

Mental math application: Evaluate $25 \times (-17) \times 4$.

$$ \begin{aligned} 25 \times (-17) \times 4 &= (25 \times 4) \times (-17) \\ &= 100 \times (-17) \\ &= -1700 \end{aligned} $$

Example 2.5

ข้อควรระวัง: การลบ ไม่สามารถ เปลี่ยนหมู่ได้

$$ \begin{aligned} (10 - 5) - 2 &= 5 - 2 \\ &= 3 \\[4pt] 10 - (5 - 2) &= 10 - 3 \\ &= 7 \\[4pt] \therefore (10 - 5) - 2 &\neq 10 - (5 - 2) \end{aligned} $$

Caution: Subtraction is NOT associative.

$$ \begin{aligned} (10 - 5) - 2 &= 5 - 2 \\ &= 3 \\[4pt] 10 - (5 - 2) &= 10 - 3 \\ &= 7 \\[4pt] \therefore (10 - 5) - 2 &\neq 10 - (5 - 2) \end{aligned} $$

🚀 สมบัติการแจกแจง 🚀 Distributive Property

สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) เป็นสมบัติที่เชื่อมโยงระหว่างการคูณและการบวก (หรือการลบ) โดยเราสามารถกระจายตัวคูณที่อยู่นอกวงเล็บ เข้าไปคูณกับทุกจำนวนที่บวกหรือลบกันอยู่ในวงเล็บได้

$$ {\color{#2e7d32}a} \times {\color{#c62828}(}{\color{#ff6f00}b} + {\color{#0097a7}c}{\color{#c62828})} = ({\color{#2e7d32}a} \times {\color{#ff6f00}b}) + ({\color{#2e7d32}a} \times {\color{#0097a7}c}) $$ $$ {\color{#c62828}(}{\color{#ff6f00}b} + {\color{#0097a7}c}{\color{#c62828})} \times {\color{#2e7d32}a} = ({\color{#ff6f00}b} \times {\color{#2e7d32}a}) + ({\color{#0097a7}c} \times {\color{#2e7d32}a}) $$

💡 ข้อสังเกต: สมบัตินี้สามารถใช้แบบย้อนกลับได้ เรียกว่า "การดึงตัวร่วม" (Factoring)

Distributive Property connects multiplication and addition (or subtraction). We can distribute the multiplier outside the parentheses to every term inside.

💡 Note: This property can be used in reverse, which is called "Factoring".

Example 3.1

แสดงสมบัติการแจกแจงขั้นพื้นฐาน: $5 \times (4 + 6)$

$$ \begin{aligned} 5 \times (4 + 6) &= 5 \times 10 \\ &= 50 \\[4pt] (5 \times 4) + (5 \times 6) &= 20 + 30 \\ &= 50 \\[4pt] \therefore 5 \times (4 + 6) &= (5 \times 4) + (5 \times 6) \end{aligned} $$

Show basic distributive property: $5 \times (4 + 6)$

$$ \begin{aligned} 5 \times (4 + 6) &= 5 \times 10 \\ &= 50 \\[4pt] (5 \times 4) + (5 \times 6) &= 20 + 30 \\ &= 50 \\[4pt] \therefore 5 \times (4 + 6) &= (5 \times 4) + (5 \times 6) \end{aligned} $$

Example 3.2

การกระจายเมื่อมีจำนวนลบ: $(-3) \times (8 + (-2))$

$$ \begin{aligned} (-3) \times (8 + (-2)) &= [(-3) \times 8] + [(-3) \times (-2)] \\ &= (-24) + 6 \\ &= -18 \end{aligned} $$

Distributing with negative numbers: $(-3) \times (8 + (-2))$

$$ \begin{aligned} (-3) \times (8 + (-2)) &= [(-3) \times 8] + [(-3) \times (-2)] \\ &= (-24) + 6 \\ &= -18 \end{aligned} $$

Example 3.3

คิดในใจด้วยสมบัติแจกแจง: หาค่า $8 \times 99$

$$ \begin{aligned} 8 \times 99 &= 8 \times (100 - 1) \\ &= (8 \times 100) - (8 \times 1) \\ &= 800 - 8 \\ &= 792 \end{aligned} $$

Mental math with distributive property: Evaluate $8 \times 99$.

$$ \begin{aligned} 8 \times 99 &= 8 \times (100 - 1) \\ &= (8 \times 100) - (8 \times 1) \\ &= 800 - 8 \\ &= 792 \end{aligned} $$

Example 3.4

การดึงตัวร่วม: หาค่า $(17 \times 4) + (17 \times 6)$

$$ \begin{aligned} (17 \times 4) + (17 \times 6) &= 17 \times (4 + 6) \\ &= 17 \times 10 \\ &= 170 \end{aligned} $$

Factoring (reverse distributive): Evaluate $(17 \times 4) + (17 \times 6)$.

$$ \begin{aligned} (17 \times 4) + (17 \times 6) &= 17 \times (4 + 6) \\ &= 17 \times 10 \\ &= 170 \end{aligned} $$

Example 3.5

การดึงตัวร่วมจำนวนลบ: หาค่า $((-15) \times 8) + ((-15) \times 2)$

$$ \begin{aligned} ((-15) \times 8) + ((-15) \times 2) &= (-15) \times (8 + 2) \\ &= (-15) \times 10 \\ &= -150 \end{aligned} $$

Factoring with negative numbers: Evaluate $((-15) \times 8) + ((-15) \times 2)$.

$$ \begin{aligned} ((-15) \times 8) + ((-15) \times 2) &= (-15) \times (8 + 2) \\ &= (-15) \times 10 \\ &= -150 \end{aligned} $$

⭐ สมบัติของ 0 และ 1 ⭐ Properties of 0 and 1

เลข ${\color{#6a1b9a}0}$ และ ${\color{#2e7d32}1}$ มีบทบาทพิเศษในระบบจำนวนเต็ม เรียกว่า เอกลักษณ์ (Identity) ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ไปดำเนินการกับตัวอื่นแล้ว ทำให้ตัวอื่นยังคงมีค่าเท่าเดิมเสมอ

เอกลักษณ์การบวกคือ ${\color{#6a1b9a}0}$: $\quad a + {\color{#6a1b9a}0} = a$ และ ${\color{#6a1b9a}0} + a = a$
เอกลักษณ์การคูณคือ ${\color{#2e7d32}1}$: $\quad a \times {\color{#2e7d32}1} = a$ และ ${\color{#2e7d32}1} \times a = a$
สมบัติของศูนย์กับการคูณ: $\quad a \times {\color{#6a1b9a}0} = {\color{#6a1b9a}0}$ และ ${\color{#6a1b9a}0} \times a = {\color{#6a1b9a}0}$
สมบัติของศูนย์กับการหาร: $\quad \frac{{\color{#6a1b9a}0}}{a} = {\color{#6a1b9a}0}$ (เมื่อ $a \neq {\color{#6a1b9a}0}$)

The numbers ${\color{#6a1b9a}0}$ and ${\color{#2e7d32}1}$ have special roles in the integer system called Identities, meaning they operate on another number without changing its value.

Additive Identity is ${\color{#6a1b9a}0}$: $\quad a + {\color{#6a1b9a}0} = a$ and ${\color{#6a1b9a}0} + a = a$
Multiplicative Identity is ${\color{#2e7d32}1}$: $\quad a \times {\color{#2e7d32}1} = a$ and ${\color{#2e7d32}1} \times a = a$
Property of zero in multiplication: $\quad a \times {\color{#6a1b9a}0} = {\color{#6a1b9a}0}$ and ${\color{#6a1b9a}0} \times a = {\color{#6a1b9a}0}$
Property of zero in division: $\quad \frac{{\color{#6a1b9a}0}}{a} = {\color{#6a1b9a}0}$ (when $a \neq {\color{#6a1b9a}0}$)

Example 4.1

เอกลักษณ์การบวก

$$ \begin{aligned} (-45) + 0 &= -45 \\ 0 + 128 &= 128 \end{aligned} $$

Additive Identity

$$ \begin{aligned} (-45) + 0 &= -45 \\ 0 + 128 &= 128 \end{aligned} $$

Example 4.2

เอกลักษณ์การคูณ

$$ \begin{aligned} (-99) \times 1 &= -99 \\ 1 \times 54 &= 54 \end{aligned} $$

Multiplicative Identity

$$ \begin{aligned} (-99) \times 1 &= -99 \\ 1 \times 54 &= 54 \end{aligned} $$

Example 4.3

การคูณด้วยศูนย์

$$ \begin{aligned} (-1,234) \times 0 &= 0 \\ 0 \times 876 &= 0 \end{aligned} $$

Multiplication by zero

$$ \begin{aligned} (-1,234) \times 0 &= 0 \\ 0 \times 876 &= 0 \end{aligned} $$

Example 4.4

ศูนย์เป็นตัวตั้งในการหาร

$$ \begin{aligned} \frac{0}{-25} &= 0 \end{aligned} $$

Zero as the dividend

$$ \begin{aligned} \frac{0}{-25} &= 0 \end{aligned} $$

Example 4.5

ข้อควรระวัง: ศูนย์เป็นตัวหาร

$$ \begin{aligned} \frac{5}{0} &\implies \textbf{\color{#c62828}ไม่มีนิยามทางคณิตศาสตร์ (Undefined)} \end{aligned} $$

ห้ามนำศูนย์ไปเป็นตัวหารโดยเด็ดขาด!

Caution: Zero as the divisor

$$ \begin{aligned} \frac{5}{0} &\implies \textbf{\color{#c62828}Undefined in mathematics} \end{aligned} $$

Never use zero as a divisor!

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Integer	in- (not) + tangere (touch)	จำนวนเต็ม · ตัวเลขที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยมประกอบ (สมบูรณ์ ไม่ถูกแบ่งแยก)
Property	proprietas (special character)	สมบัติ · กฎหรือลักษณะเฉพาะที่เป็นจริงเสมอในทางคณิตศาสตร์
Commutative	com- (together) + mutare (change)	การสลับที่ · ความสามารถในการสลับตำแหน่งกันได้โดยที่ผลลัพธ์ไม่เปลี่ยน
Associative	ad- (to) + sociare (join, unite)	การเปลี่ยนหมู่ · ความสามารถในการจัดกลุ่มหรือเปลี่ยนวงเล็บในการคำนวณ
Distributive	dis- (apart) + tribuere (assign)	การแจกแจง · การกระจายการคูณเข้าไปในวงเล็บของการบวกหรือลบ
Identity	idem (the same)	เอกลักษณ์ · สิ่งที่ไปกระทำกับจำนวนอื่นแล้วทำให้ค่าของจำนวนนั้นยังคงเดิม
Factoring	facere (to make, do)	การดึงตัวร่วม / การแยกตัวประกอบ · การใช้สมบัติการแจกแจงย้อนกลับเพื่อดึงตัวคูณร่วมออกมา
Grouping	kruppas (mass, clump)	การจัดกลุ่ม / การใส่วงเล็บ · การเลือกจับคู่จำนวนเพื่อคำนวณก่อน-หลัง
Element	elementum (first principle, rudiment)	สมาชิก / ตัวเลขในระบบ · สมาชิกแต่ละตัวในชุดจำนวนเต็ม
Substitution	sub- (under) + statuere (to set, place)	การแทนค่า · การนำตัวเลขหรือค่าที่ทราบแล้วเข้าไปแทนที่ตัวแปร