คุณสมบัติของจำนวนนับ

จำนวนนับ (Counting Numbers หรือ Natural Numbers) คือ จำนวนที่เราใช้ในการนับสิ่งของต่างๆ เริ่มต้นตั้งแต่ $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนนับเหล่านี้มีคุณสมบัติและความสัมพันธ์ที่น่าสนใจมากมาย ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญในการเรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงต่อไป

Counting Numbers (or Natural Numbers) are the numbers we use for counting objects, starting from $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ to infinity. These numbers possess many interesting properties and relationships, which form a crucial foundation for advanced mathematics.

🧩 ตัวประกอบ (Factors) 🧩 Factors

ตัวประกอบ (Factor) ของจำนวนนับใดๆ คือ จำนวนนับที่สามารถหารจำนวนนับนั้นได้ลงตัวพอดี (ไม่มีเศษ) ยกตัวอย่างเช่น $3$ เป็นตัวประกอบของ $12$ เพราะ $12 \div 3 = 4$ ลงตัวพอดี

A Factor of a counting number is any counting number that divides into it perfectly, leaving no remainder. For example, $3$ is a factor of $12$ because $12 \div 3 = 4$ exactly.

Example 1.1

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ $6$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 6 &= 1, 2, 3, 6 \end{aligned} $$

Find all factors of $6$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 6 &= 1, 2, 3, 6 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ $15$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 15 &= 1, 3, 5, 15 \end{aligned} $$

Find all factors of $15$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 15 &= 1, 3, 5, 15 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ $24$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 24 &= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \end{aligned} $$

Find all factors of $24$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 24 &= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \end{aligned} $$

Example 1.4

พิจารณาว่า $7$ เป็นตัวประกอบของ $42$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} 42 \div 7 &= 6 \quad \text{(หารลงตัว)} \\ \text{สรุป} &: 7 \text{ เป็นตัวประกอบของ } 42 \end{aligned} $$

Determine if $7$ is a factor of $42$.

$$ \begin{aligned} 42 \div 7 &= 6 \quad \text{(divides exactly)} \\ \text{Result} &: 7 \text{ is a factor of } 42 \end{aligned} $$

Example 1.5

พิจารณาว่า $5$ เป็นตัวประกอบของ $23$ หรือไม่?

$$ \begin{aligned} 23 \div 5 &= 4 \text{ เศษ } 3 \quad \text{(หารไม่ลงตัว)} \\ \text{สรุป} &: 5 \text{ ไม่เป็นตัวประกอบของ } 23 \end{aligned} $$

Determine if $5$ is a factor of $23$.

$$ \begin{aligned} 23 \div 5 &= 4 \text{ R } 3 \quad \text{(leaving remainder)} \\ \text{Result} &: 5 \text{ is not a factor of } 23 \end{aligned} $$

💎 จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ 💎 Prime and Composite Numbers

จำนวนเฉพาะ (Prime Number): คือจำนวนนับที่มากกว่า $1$ และมีตัวประกอบเพียง $2$ ตัวเท่านั้น คือ $1$ และตัวมันเอง (เช่น $2, 3, 5, 7$)
จำนวนประกอบ (Composite Number): คือจำนวนนับที่มีตัวประกอบมากกว่า $2$ ตัว (เช่น $4, 6, 8, 9$)

** หมายเหตุ: เลข 1 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ **

Prime Number: A counting number greater than $1$ that has exactly $2$ factors: $1$ and itself (e.g., $2, 3, 5, 7$).
Composite Number: A counting number that has more than $2$ factors (e.g., $4, 6, 8, 9$).

** Note: The number 1 is neither prime nor composite. **

Example 2.1

พิจารณาว่า $7$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 7 &= 1, 7 \quad \text{(มี 2 ตัว)} \\ \text{สรุป} &: 7 \text{ เป็นจำนวนเฉพาะ} \end{aligned} $$

Determine if $7$ is a prime or composite number.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 7 &= 1, 7 \quad \text{(2 factors)} \\ \text{Result} &: 7 \text{ is a Prime Number} \end{aligned} $$

Example 2.2

พิจารณาว่า $12$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 12 &= 1, 2, 3, 4, 6, 12 \quad \text{(มีมากกว่า 2 ตัว)} \\ \text{สรุป} &: 12 \text{ เป็นจำนวนประกอบ} \end{aligned} $$

Determine if $12$ is a prime or composite number.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 12 &= 1, 2, 3, 4, 6, 12 \quad \text{(More than 2 factors)} \\ \text{Result} &: 12 \text{ is a Composite Number} \end{aligned} $$

Example 2.3

พิจารณาว่า $2$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 2 &= 1, 2 \quad \text{(มี 2 ตัว)} \\ \text{สรุป} &: 2 \text{ เป็นจำนวนเฉพาะ (คู่เพียงตัวเดียว)} \end{aligned} $$

Determine if $2$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 2 &= 1, 2 \quad \text{(2 factors)} \\ \text{Result} &: 2 \text{ is a Prime Number (only even prime)} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง $10$ ถึง $20$

$$\text{จำนวนเฉพาะช่วง } 10 \text{ ถึง } 20 \text{ คือ } 11, 13, 17, 19$$

Find all prime numbers between $10$ and $20$.

$$\text{Prime numbers between } 10 \text{ and } 20 \text{ are } 11, 13, 17, 19$$

Example 2.5

พิจารณาว่า $51$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?

$$ \begin{aligned} 51 \div 3 &= 17 \quad \text{(หารลงตัว)} \\ \text{สรุป} &: 51 \text{ เป็นจำนวนประกอบ} \end{aligned} $$

Determine if $51$ is a prime number.

$$ \begin{aligned} 51 \div 3 &= 17 \quad \text{(divides exactly)} \\ \text{Result} &: 51 \text{ is a Composite Number} \end{aligned} $$

🔍 ตัวประกอบเฉพาะและคู่ตัวประกอบ 🔍 Prime Factors and Factor Pairs

ตัวประกอบเฉพาะ (Prime Factor): คือตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ ที่มีคุณสมบัติเป็น "จำนวนเฉพาะ" ด้วย
คู่ตัวประกอบ (Factor Pairs): คือจำนวนนับ 2 จำนวนที่คูณกันแล้วได้เท่ากับจำนวนที่กำหนด

Prime Factor: A factor of a counting number that is itself a "prime number".
Factor Pairs: A pair of counting numbers that, when multiplied together, yield the given number.

Example 3.1

จงหาตัวประกอบเฉพาะของ $30$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 30 &= 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \\ \text{ตัวประกอบเฉพาะ} &: 2, 3, 5 \end{aligned} $$

Find the prime factors of $30$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 30 &= 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \\ \text{Prime factors} &: 2, 3, 5 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาคู่ตัวประกอบทั้งหมดของ $16$

$$ \begin{aligned} 16 &= 1 \times 16 = 2 \times 8 = 4 \times 4 \\ \text{คู่ตัวประกอบ} &: (1,16), (2,8), (4,4) \end{aligned} $$

Find all factor pairs of $16$.

$$ \begin{aligned} 16 &= 1 \times 16 = 2 \times 8 = 4 \times 4 \\ \text{Factor pairs} &: (1,16), (2,8), (4,4) \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาตัวประกอบเฉพาะของ $60$ (โดยการแยกตัวประกอบ / Prime Factorization)

$$ \begin{aligned} 60 &= 2^2 \times 3 \times 5 \\ \text{ตัวประกอบเฉพาะ} &: 2, 3, 5 \end{aligned} $$

Find the prime factors of $60$ (using Prime Factorization).

$$ \begin{aligned} 60 &= 2^2 \times 3 \times 5 \\ \text{Prime factors} &: 2, 3, 5 \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาตัวประกอบเฉพาะของ $49$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวประกอบของ } 49 &= 1, 7, 49 \\ \text{ตัวประกอบเฉพาะ} &: 7 \end{aligned} $$

Find the prime factors of $49$.

$$ \begin{aligned} \text{Factors of } 49 &= 1, 7, 49 \\ \text{Prime factor} &: 7 \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหาคู่ตัวประกอบทั้งหมดของ $36$

$$ \begin{aligned} 36 &= 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 \\ \text{คู่ตัวประกอบ} &: (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6) \end{aligned} $$

Find all factor pairs of $36$.

$$ \begin{aligned} 36 &= 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 \\ \text{Factor pairs} &: (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6) \end{aligned} $$

🤝 ตัวประกอบร่วม 🤝 Common Factors

ตัวประกอบร่วม (Common Factor) คือตัวประกอบที่มีเหมือนกันหรือซ้ำกัน ของจำนวนนับตั้งแต่ $2$ จำนวนขึ้นไป ซึ่งตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุด เราเรียกว่า ห.ร.ม. (หารร่วมมาก / Highest Common Factor)

A Common Factor is a factor that is shared by two or more counting numbers. The largest of these common factors is known as the HCF (Highest Common Factor).

Example 4.1

จงหาตัวประกอบร่วมของ $12$ และ $18$

$$\text{ตัวประกอบร่วมของ } 12 \text{ และ } 18 \text{ คือ } 1, 2, 3, 6$$

Find the common factors of $12$ and $18$.

$$\text{Common factors of } 12 \text{ and } 18 \text{ are } 1, 2, 3, 6$$

Example 4.2

จงหาตัวประกอบร่วมของ $15$ และ $25$

$$\text{ตัวประกอบร่วมของ } 15 \text{ และ } 25 \text{ คือ } 1, 5$$

Find the common factors of $15$ and $25$.

$$\text{Common factors of } 15 \text{ and } 25 \text{ are } 1, 5$$

Example 4.3

จงหาตัวประกอบร่วมของ $8, 16,$ และ $24$

$$\text{ตัวประกอบร่วมของ } 8, 16, 24 \text{ คือ } 1, 2, 4, 8$$

Find the common factors of $8, 16,$ and $24$.

$$\text{Common factors of } 8, 16, 24 \text{ are } 1, 2, 4, 8$$

Example 4.4

จงหาตัวประกอบร่วมของ $7$ และ $11$

$$\text{ตัวประกอบร่วมของ } 7 \text{ และ } 11 \text{ คือ } 1 \quad \text{(จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์)}$$

Find the common factors of $7$ and $11$.

$$\text{Common factors of } 7 \text{ and } 11 \text{ are } 1 \quad \text{(Relatively prime)}$$

Example 4.5

จงหา หารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ $20$ และ $30$

$$\text{ห.ร.ม. ของ } 20 \text{ และ } 30 \text{ คือ } 10$$

Find the Highest Common Factor (HCF) of $20$ and $30$.

$$\text{HCF of } 20 \text{ and } 30 \text{ is } 10$$

⚖️ จำนวนคู่และจำนวนคี่ ⚖️ Even and Odd Numbers

จำนวนคู่ (Even Number): คือจำนวนนับที่หารด้วย $2$ ลงตัว (เขียนในรูป $2n$ ได้ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับ) เช่น $2, 4, 6, 8, 10$
จำนวนคี่ (Odd Number): คือจำนวนนับที่หารด้วย $2$ ไม่ลงตัว (เขียนในรูป $2n-1$ ได้) เช่น $1, 3, 5, 7, 9$

Even Number: A counting number that is exactly divisible by $2$ (can be written as $2n$). e.g., $2, 4, 6, 8, 10$.
Odd Number: A counting number that is not divisible by $2$ (can be written as $2n-1$). e.g., $1, 3, 5, 7, 9$.

Example 5.1

จงพิจารณาว่า $14$ และ $27$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่

$$ \begin{aligned} 14 \div 2 &= 7 \quad \text{(หารลงตัว)} &: 14 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนคู่} \\ 27 \div 2 &= 13 \text{ เศษ } 1 \quad \text{(หารไม่ลงตัว)} &: 27 \text{ เป็น } \textbf{จำนวนคี่} \end{aligned} $$

Determine if $14$ and $27$ are even or odd.

$$ \begin{aligned} 14 \div 2 &= 7 \quad \text{(exact)} &: 14 \text{ is an } \textbf{Even Number} \\ 27 \div 2 &= 13 \text{ R } 1 \quad \text{(remainder)} &: 27 \text{ is an } \textbf{Odd Number} \end{aligned} $$

Example 5.2

ผลบวกของ จำนวนคู่ + จำนวนคู่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} 4 + 6 &= 10 \quad \text{(หาร 2 ลงตัว)} \\ \text{สรุป} &: \textbf{คู่} + \textbf{คู่} = \textbf{จำนวนคู่} \end{aligned} $$

What is the result of Even + Even?

$$ \begin{aligned} 4 + 6 &= 10 \quad \text{(divisible by 2)} \\ \text{Result} &: \textbf{Even} + \textbf{Even} = \textbf{Even Number} \end{aligned} $$

Example 5.3

ผลบวกของ จำนวนคี่ + จำนวนคี่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} 3 + 5 &= 8 \quad \text{(หาร 2 ลงตัว)} \\ \text{สรุป} &: \textbf{คี่} + \textbf{คี่} = \textbf{จำนวนคู่} \end{aligned} $$

What is the result of Odd + Odd?

$$ \begin{aligned} 3 + 5 &= 8 \quad \text{(divisible by 2)} \\ \text{Result} &: \textbf{Odd} + \textbf{Odd} = \textbf{Even Number} \end{aligned} $$

Example 5.4

ผลคูณของ จำนวนคู่ $\times$ จำนวนคี่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} 2 \times 3 &= 6 \quad \text{(หาร 2 ลงตัว)} \\ \text{สรุป} &: \textbf{คู่} \times \textbf{คี่} = \textbf{จำนวนคู่} \end{aligned} $$

What is the result of Even $\times$ Odd?

$$ \begin{aligned} 2 \times 3 &= 6 \quad \text{(divisible by 2)} \\ \text{Result} &: \textbf{Even} \times \textbf{Odd} = \textbf{Even Number} \end{aligned} $$

Example 5.5

ผลคูณของ จำนวนคี่ $\times$ จำนวนคี่ จะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร?

$$ \begin{aligned} 3 \times 7 &= 21 \quad \text{(หาร 2 ไม่ลงตัว)} \\ \text{สรุป} &: \textbf{คี่} \times \textbf{คี่} = \textbf{จำนวนคี่} \end{aligned} $$

What is the result of Odd $\times$ Odd?

$$ \begin{aligned} 3 \times 7 &= 21 \quad \text{(not divisible by 2)} \\ \text{Result} &: \textbf{Odd} \times \textbf{Odd} = \textbf{Odd Number} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Natural Number	natura (nature)	จำนวนนับ / จำนวนธรรมชาติ · ตัวเลขที่ใช้ในการนับสิ่งของ เริ่มตั้งแต่ 1
Factor	facere (to make, do)	ตัวประกอบ · จำนวนที่หารจำนวนอื่นได้ลงตัว (ผู้สร้างตัวเลขนั้นจากการคูณ)
Prime Number	primus (first, primary)	จำนวนเฉพาะ · จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง (จำนวนพื้นฐาน)
Composite Number	com- (together) + ponere (to place)	จำนวนประกอบ · จำนวนที่มีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว (เกิดจากการประกอบกันของจำนวนอื่น)
Prime Factor	primus + facere	ตัวประกอบเฉพาะ · ตัวประกอบของจำนวนนับที่เป็นจำนวนเฉพาะ
Factor Pair	facere + par (equal)	คู่ตัวประกอบ · คู่จำนวนนับที่คูณกันแล้วได้จำนวนที่กำหนด
Common Factor	communis (shared)	ตัวประกอบร่วม · ตัวประกอบที่มีอยู่ร่วมกันในตัวเลขตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป
Highest Common Factor (HCF)	altissimus + communis	หารร่วมมาก (ห.ร.ม.) · ตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดของชุดตัวเลข
Relatively Prime	relativus + primus	จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ · จำนวนตั้งแต่ 2 จำนวนที่มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 (มี 1 เป็นตัวประกอบร่วมเพียงตัวเดียว)
Prime Factorization	primus + facere	การแยกตัวประกอบ · การเขียนจำนวนประกอบในรูปผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ
Divisibility	dividere (to divide)	การหารลงตัว · คุณสมบัติที่จำนวนหนึ่งหารอีกจำนวนหนึ่งลงตัวโดยไม่มีเศษ
Even / Odd	efn (even) / ordr (odd)	จำนวนคู่ (Even) หาร 2 ลงตัว / จำนวนคี่ (Odd) หาร 2 ไม่ลงตัว