กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

ทศนิยมซ้ำ
Repeating Decimals

ระบบจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

TH

ทศนิยม (Decimals) เป็นรูปแบบหนึ่งของจำนวนตรรกยะ เมื่อเราหารเศษส่วนแล้วไม่ลงตัว เราจะได้ตัวเลขหลังจุดทศนิยมที่อาจจะจบลง หรือดำเนินต่อไปเรื่อยๆ อย่างมีรูปแบบ (ซ้ำ) การทำความเข้าใจทศนิยมซ้ำจะช่วยให้เราจำแนกประเภทของจำนวนในระบบจำนวนจริงได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

EN

Decimals are another way to express rational numbers. When we divide fractions and they don't result in an integer, we get digits after the decimal point that either end or continue infinitely in a predictable pattern (repeating).

1

🛑 ทศนิยมรู้จบ 🛑 Terminating Decimals

TH

🛑 ทศนิยมรู้จบ (Terminating Decimals): คือทศนิยมที่ หารลงตัว หรือมีจำนวนตัวเลขหลังจุด จำกัด เช่น $0.5$, $0.25$ ในทางคณิตศาสตร์ถือเป็น ทศนิยมซ้ำศูนย์

EN

🛑 Terminating Decimals: Decimals that have a finite number of digits after the decimal point (division terminates) e.g., $0.5$, $0.25$. Mathematically, they are considered repeating decimals with zero repeating.

Example 1.1

ทศนิยมพื้นฐานที่มีตัวเลขหลังจุดเพียง 1 ตัว เกิดจากการหารที่จบในขั้นตอนเดียว

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= 0.5 \end{aligned} $$

Basic decimal with exactly 1 digit after the point, resulting from a single-step division.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= 0.5 \end{aligned} $$
Example 1.2

ทศนิยมที่จบใน 2 ตำแหน่ง มักพบเมื่อตัวส่วนเป็น 4 หรือ 25

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4} &= 0.75 \end{aligned} $$

A decimal that terminates at 2 decimal places, commonly found when the denominator is 4 or 25.

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4} &= 0.75 \end{aligned} $$
Example 1.3

การหารที่มีเศษในขั้นตอนแรกๆ แต่สุดท้ายหารลงตัวที่ตำแหน่งที่ 3

$$ \begin{aligned} \frac{5}{8} &= 0.625 \end{aligned} $$

Division that has remainders initially but terminates perfectly at the 3rd decimal place.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{8} &= 0.625 \end{aligned} $$
Example 1.4

เศษส่วนใดๆ ที่ตัวส่วนแยกตัวประกอบได้แค่เลข 2 หรือ 5 จะเป็นทศนิยมรู้จบเสมอ

$$ \begin{aligned} \frac{7}{20} &= 0.35 \end{aligned} $$

Any fraction whose denominator's prime factors are only 2 or 5 will always terminate.

$$ \begin{aligned} \frac{7}{20} &= 0.35 \end{aligned} $$
Example 1.5

เราสามารถคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 4 เพื่อทำให้ตัวส่วนเป็น 100 ได้อย่างรวดเร็ว

$$ \begin{aligned} \frac{9}{25} &= \frac{9 \times 4}{25 \times 4} \\ &= \frac{36}{100} \\ &= 0.36 \end{aligned} $$

We can multiply both numerator and denominator by 4 to quickly make the denominator 100.

$$ \begin{aligned} \frac{9}{25} &= \frac{9 \times 4}{25 \times 4} \\ &= \frac{36}{100} \\ &= 0.36 \end{aligned} $$
Example 1.6

ทศนิยมรู้จบสามารถเป็นค่าติดลบ และมีจำนวนเต็มอยู่ด้านหน้าได้

$$ \begin{aligned} -\frac{11}{4} &= -2.75 \end{aligned} $$

Terminating decimals can be negative values and can include an integer part.

$$ \begin{aligned} -\frac{11}{4} &= -2.75 \end{aligned} $$
Example 1.7

ทศนิยมรู้จบสามารถเขียนในรูปทศนิยมที่เติมเลข 0 (ศูนย์) ต่อท้ายไปเรื่อยๆ ได้

$$ \begin{aligned} 0.5 &= 0.50 \\ &= 0.500 \\ &= 0.5000\dots \end{aligned} $$

A terminating decimal can be written as repeating zeros infinitely without changing its value.

$$ \begin{aligned} 0.5 &= 0.50 \\ &= 0.500 \\ &= 0.5000\dots \end{aligned} $$
2

🔄 ทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ 🔄 Repeating Decimals

TH

ทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ (Repeating Decimals): คือทศนิยมที่มีกลุ่มตัวเลขหลังจุด ซ้ำเดิมไปเรื่อยๆ อย่าง ไม่สิ้นสุด โดยเราใช้ จุด ($\cdot$) บนหัวตัวเลข เพื่อแสดงการซ้ำ

EN

Repeating Decimals: Decimals with a pattern of digits that repeat infinitely. We use dot notation ($\cdot$) above the repeating digits to represent the sequence.

Example 2.1

ตัวเลขเดิมตัวเดียวซ้ำไปเรื่อยๆ เราจะใส่จุดบนตัวเลขนั้นเพียง 1 จุด

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= 0.3333\dots \\ &= 0.\dot{3} \end{aligned} $$

A single digit repeating infinitely. We place one dot over that digit.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= 0.3333\dots \\ &= 0.\dot{3} \end{aligned} $$
Example 2.2

ตัวส่วนที่เป็นเลข 9 มักจะให้ผลลัพธ์การหารเป็นทศนิยมซ้ำ 1 ตำแหน่งเสมอ

$$ \begin{aligned} \frac{2}{9} &= 0.2222\dots \\ &= 0.\dot{2} \end{aligned} $$

A denominator of 9 almost always results in a 1-digit repeating decimal.

$$ \begin{aligned} \frac{2}{9} &= 0.2222\dots \\ &= 0.\dot{2} \end{aligned} $$
Example 2.3

ตัวเลข 2 ตัวซ้ำกันเป็นชุด ให้ใส่จุดบนตัวเลขทั้งสองตัว

$$ \begin{aligned} \frac{5}{11} &= 0.454545\dots \\ &= 0.\dot{4}\dot{5} \end{aligned} $$

Two digits repeating as a block. Place dots over both digits.

$$ \begin{aligned} \frac{5}{11} &= 0.454545\dots \\ &= 0.\dot{4}\dot{5} \end{aligned} $$
Example 2.4

ทศนิยมที่มีเลขหลังจุดที่ไม่ซ้ำอยู่ด้านหน้า แล้วตามด้วยตัวเลขที่วนซ้ำ

$$ \begin{aligned} \frac{1}{6} &= 0.16666\dots \\ &= 0.1\dot{6} \end{aligned} $$

A decimal where a non-repeating digit appears first, followed by a repeating digit.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{6} &= 0.16666\dots \\ &= 0.1\dot{6} \end{aligned} $$
Example 2.5

มีตัวเลขไม่ซ้ำอยู่ข้างหน้า แล้วตามด้วยชุดที่ซ้ำกัน 2 ตัว

$$ \begin{aligned} \frac{7}{33} &= 0.212121\dots \\ &= 0.\dot{2}\dot{1} \end{aligned} $$

A non-repeating digit followed by a 2-digit repeating block.

$$ \begin{aligned} \frac{7}{33} &= 0.212121\dots \\ &= 0.\dot{2}\dot{1} \end{aligned} $$
Example 2.6

เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นเลข 7 มักเกิดทศนิยมซ้ำที่มีความยาวถึง 6 ตำแหน่ง (ใส่จุดเฉพาะตัวแรกและตัวสุดท้ายของชุด)

$$ \begin{aligned} \frac{1}{7} &= 0.142857142857\dots \\ &= 0.\dot{1}4285\dot{7} \end{aligned} $$

Fractions with a denominator of 7 often result in repeating blocks of 6 digits (dots placed only on first and last digit).

$$ \begin{aligned} \frac{1}{7} &= 0.142857142857\dots \\ &= 0.\dot{1}4285\dot{7} \end{aligned} $$
Example 2.7

ตัวส่วนที่เป็นเลข 99 จะสร้างทศนิยมซ้ำ 2 ตำแหน่งตามตัวเศษด้านบน

$$ \begin{aligned} \frac{25}{99} &= 0.252525\dots \\ &= 0.\dot{2}\dot{5} \end{aligned} $$

A denominator of 99 creates a 2-digit repeating decimal corresponding to its numerator.

$$ \begin{aligned} \frac{25}{99} &= 0.252525\dots \\ &= 0.\dot{2}\dot{5} \end{aligned} $$
3

🧮 การแปลงเป็นเศษส่วน 🧮 Fraction Conversion

TH

การแปลงเป็นเศษส่วน (Fraction Conversion): สามารถทำได้ด้วย วิธีจัดรูปสมการ หรือ ใช้สูตรลัด โดยวิธีสมการจะต้องคูณเพื่อ เลื่อนจุดทศนิยมให้ตรงกัน

EN

Fraction Conversion: Can be done via algebraic equations or a shortcut formula. The equation method multiplies to shift and perfectly align the decimals.

Example 3.1

กำหนดให้ $x$ เท่ากับทศนิยมซ้ำนั้น แล้วคูณด้วย 10 เพื่อเลื่อนจุดทศนิยม 1 ตำแหน่ง

$$ \begin{aligned} x &= 0.3333\dots \qquad \text{--- (สมการ 1)} \\ 10x &= 3.3333\dots \qquad \text{--- (สมการ 2)} \\ 10x - x &= 3.3333\dots - 0.3333\dots \\ 9x &= 3 \\ x &= \frac{3}{9} \\ x &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Let $x$ equal the repeating decimal, then multiply by 10 to shift the decimal point by 1 place.

$$ \begin{aligned} x &= 0.3333\dots \qquad \text{--- (Eq. 1)} \\ 10x &= 3.3333\dots \qquad \text{--- (Eq. 2)} \\ 10x - x &= 3.3333\dots - 0.3333\dots \\ 9x &= 3 \\ x &= \frac{3}{9} \\ x &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$
Example 3.2

เนื่องจากมีตัวเลขซ้ำ 2 ตำแหน่ง เราจึงต้องคูณด้วย 100 เพื่อเลื่อนจุดและให้ชุดที่ซ้ำตรงกัน

$$ \begin{aligned} x &= 0.4545\dots \qquad \text{--- (สมการ 1)} \\ 100x &= 45.4545\dots \qquad \text{--- (สมการ 2)} \\ 100x - x &= 45.4545\dots - 0.4545\dots \\ 99x &= 45 \\ x &= \frac{45}{99} \\ x &= \frac{5}{11} \end{aligned} $$

Since 2 digits repeat, we must multiply by 100 to shift the decimal and properly align the repeats.

$$ \begin{aligned} x &= 0.4545\dots \qquad \text{--- (Eq. 1)} \\ 100x &= 45.4545\dots \qquad \text{--- (Eq. 2)} \\ 100x - x &= 45.4545\dots - 0.4545\dots \\ 99x &= 45 \\ x &= \frac{45}{99} \\ x &= \frac{5}{11} \end{aligned} $$
Example 3.3

ต้องสร้างสมการที่ดันจุดไปด้านหน้าตัวซ้ำ (คูณ 10) และด้านหลังตัวซ้ำ (คูณ 100) แล้วจึงนำมาลบกัน

$$ \begin{aligned} x &= 0.1666\dots \\ 10x &= 1.666\dots \qquad \text{--- (สมการ 1)} \\ 100x &= 16.666\dots \qquad \text{--- (สมการ 2)} \\ 100x - 10x &= 16.666\dots - 1.666\dots \\ 90x &= 15 \\ x &= \frac{15}{90} \\ x &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$

Create equations placing the point just before the repeat (multiply 10) and right after (multiply 100), then subtract.

$$ \begin{aligned} x &= 0.1666\dots \\ 10x &= 1.666\dots \qquad \text{--- (Eq. 1)} \\ 100x &= 16.666\dots \qquad \text{--- (Eq. 2)} \\ 100x - 10x &= 16.666\dots - 1.666\dots \\ 90x &= 15 \\ x &= \frac{15}{90} \\ x &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$
Example 3.4

ตัวเศษ = ตัวเลขทั้งหมดลบด้วยตัวที่ไม่ซ้ำ (ในที่นี้คือ 0) | ตัวส่วน = 9 ตามจำนวนตัวเลขที่ซ้ำ

$$ \begin{aligned} 0.\dot{7} &= \frac{7 - 0}{9} \\ &= \frac{7}{9} \end{aligned} $$

Numerator = All digits minus non-repeating (0) | Denominator = 9s based on repeating quantity.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{7} &= \frac{7 - 0}{9} \\ &= \frac{7}{9} \end{aligned} $$
Example 3.5

เลขซ้ำ 2 ตำแหน่ง จึงใช้ตัวส่วนเป็น 99 แล้วตัดทอนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

$$ \begin{aligned} 0.\dot{1}\dot{2} &= \frac{12 - 0}{99} \\ &= \frac{12}{99} \\ &= \frac{4}{33} \end{aligned} $$

2 repeating digits, so the denominator is 99, then simplify.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{1}\dot{2} &= \frac{12 - 0}{99} \\ &= \frac{12}{99} \\ &= \frac{4}{33} \end{aligned} $$
Example 3.6

ทศนิยม $0.4\dot{2}\dot{1}$ ตัวเลขทั้งหมดคือ 421 ตัวไม่ซ้ำคือ 4 ส่วนตัวส่วนคือ 99 (ซ้ำ 2 ตัว) และ 0 (ไม่ซ้ำ 1 ตัว)

$$ \begin{aligned} 0.4\dot{2}\dot{1} &= \frac{421 - 4}{990} \\ &= \frac{417}{990} \\ &= \frac{139}{330} \end{aligned} $$

Decimal $0.4\dot{2}\dot{1}$ All digits=421, non-repeating=4. Denom is 99 (2 rep) and 0 (1 non-rep).

$$ \begin{aligned} 0.4\dot{2}\dot{1} &= \frac{421 - 4}{990} \\ &= \frac{417}{990} \\ &= \frac{139}{330} \end{aligned} $$
Example 3.7

แยกจำนวนเต็มบวกเอาไว้ด้านหน้า แล้วแปลงเฉพาะส่วนทศนิยมด้วยวิธีลัด

$$ \begin{aligned} 1.\dot{2} &= 1 + \frac{2 - 0}{9} \\ &= 1 + \frac{2}{9} \\ &= \frac{9}{9} + \frac{2}{9} \\ &= \frac{11}{9} \end{aligned} $$

Keep the integer part out in front, and convert only the decimal part using the shortcut.

$$ \begin{aligned} 1.\dot{2} &= 1 + \frac{2 - 0}{9} \\ &= 1 + \frac{2}{9} \\ &= \frac{9}{9} + \frac{2}{9} \\ &= \frac{11}{9} \end{aligned} $$
4

🌌 จำนวนอตรรกยะ 🌌 Irrational Numbers

TH

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers): คือทศนิยมที่ ไม่รู้จบ และ ไม่ซ้ำ ซึ่ง ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ เช่น $\pi$ หรือ $\sqrt{2}$

EN

Irrational Numbers: Decimals that are non-terminating and non-repeating. They cannot be written as fractions e.g., $\pi$ or $\sqrt{2}$.

Example 4.1

อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม (22/7 เป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น ไม่ใช่ค่าแท้จริง)

$$ \begin{aligned} \pi &\approx 3.1415926535\dots \end{aligned} $$

Ratio of a circle's circumference to its diameter (22/7 is only an approximation).

$$ \begin{aligned} \pi &\approx 3.1415926535\dots \end{aligned} $$
Example 4.2

ความยาวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1x1 เป็นอตรรกยะที่ถูกค้นพบเป็นตัวแรกๆ ของโลก

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} &\approx 1.4142135623\dots \end{aligned} $$

The diagonal of a 1x1 square. One of the first discovered irrational numbers in history.

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} &\approx 1.4142135623\dots \end{aligned} $$
Example 4.3

รากที่ถอดออกมาไม่เป็นจำนวนเต็ม จะมีค่าเป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ

$$ \begin{aligned} \sqrt{3} &\approx 1.7320508075\dots \end{aligned} $$

Square roots of non-perfect squares are always irrational numbers.

$$ \begin{aligned} \sqrt{3} &\approx 1.7320508075\dots \end{aligned} $$
Example 4.4

ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ สำคัญมากในเรื่องการคำนวณการเติบโตแบบทวีคูณ

$$ \begin{aligned} e &\approx 2.7182818284\dots \end{aligned} $$

Mathematical constant serving as the base of the natural logarithm. Vital in exponential growth.

$$ \begin{aligned} e &\approx 2.7182818284\dots \end{aligned} $$
Example 4.5

จำนวนตรรกยะบวกอตรรกยะ หรือนำมาคูณหารกัน ผลลัพธ์จะเป็นอตรรกยะเสมอ

$$ \begin{aligned} \sqrt{5} &\approx 2.2360679774\dots \end{aligned} $$

Rational plus irrational, or irrational divided by rational, always results in an irrational number.

$$ \begin{aligned} \sqrt{5} &\approx 2.2360679774\dots \end{aligned} $$
Example 4.6

อัตราส่วนสัดส่วนความงามทางคณิตศาสตร์ ที่มี $\sqrt{5}$ เป็นส่วนประกอบ จึงทำให้เป็นอตรรกยะด้วยเช่นกัน

$$ \begin{aligned} \phi &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ &\approx 1.6180339887\dots \end{aligned} $$

The mathematical proportion of beauty, which contains $\sqrt{5}$, making it intrinsically irrational.

$$ \begin{aligned} \phi &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ &\approx 1.6180339887\dots \end{aligned} $$
Example 4.7

ทศนิยมที่ดูเหมือนมีรูปแบบการเพิ่มขึ้น แต่ไม่ใช่ "กลุ่มที่วนลูปกลับมาซ้ำกันเป๊ะๆ" ถือว่าเป็นอตรรกยะ

$$ \begin{aligned} x &= 0.101001000100001\dots \end{aligned} $$

A decimal showing a growing pattern but not a "strictly repeating block" is considered irrational.

$$ \begin{aligned} x &= 0.101001000100001\dots \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Rational Number ratio (measure, reason) จำนวนตรรกยะ · จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้
Irrational Number ir- (not) + ratio จำนวนอตรรกยะ · จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ (ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ)
Terminating Decimal terminus (end, limit) ทศนิยมรู้จบ · ทศนิยมที่มีจำนวนตำแหน่งสิ้นสุดแน่นอน
Repeating Decimal re- (again) + petere (to seek) ทศนิยมซ้ำ · ทศนิยมที่มีตัวเลขหรือชุดตัวเลขวนซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่สิ้นสุด
Period of Repeating periodus (circuit, cycle) คาบการซ้ำ · จำนวนหลักหรือชุดของตัวเลขหลังจุดที่วนซ้ำเดิม
Dot Notation nota (mark, sign) สัญลักษณ์จุดบนทศนิยมซ้ำ · การใส่จุดบนตัวเลขเพื่อแสดงชุดตัวเลขที่วนซ้ำ
Numerator numerus (number) + -tor (agent) ตัวเศษ · ตัวเลขด้านบนของเศษส่วน บ่งบอกจำนวนส่วนที่มีอยู่
Denominator nomen (name) ตัวส่วน · ตัวเลขด้านล่างของเศษส่วน บ่งบอกการแบ่งส่วนทั้งหมด
Conversion con- (altogether) + vertere (to turn) การแปลงค่า · การเปลี่ยนรูปแบบแสดงผลของจำนวนโดยค่าเท่าเดิม
Algebraic Equation al-jabr (reunion of broken parts) + aequare (make equal) สมการพีชคณิต · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับและตัวแปร
Finite finis (end, boundary) จำกัด · มีขอบเขตหรือจำนวนที่นับสิ้นสุดได้
Infinite in- (not) + finis (end) อนันต์ · ต่อเนื่องไปไม่มีที่สิ้นสุด