กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

สมการเลขยกกำลัง
Exponential Equations

หลักการแก้สมการ การจัดรูปฐาน และการสมมติตัวแปร

TH

สมการเลขยกกำลัง (Exponential Equation) คือ สมการที่มีตัวแปรปรากฏอยู่ที่ตำแหน่งของ เลขชี้กำลัง (Exponent) โดยหลักการพื้นฐานที่สุดในการแก้สมการประเภทนี้คือ ความพยายามจัดรูปให้ทั้งสองข้างของสมการมี ฐาน (Base) ที่เท่ากันเสียก่อน

EN

An Exponential Equation is an equation in which variables occur as exponents. The most fundamental strategy for solving these equations is to express both sides of the equation with the same base.

1

🔑 ทฤษฎีบทและหลักการสำคัญ 🔑 Core Principles

TH

ในการแก้สมการเลขยกกำลัง เราอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 (One-to-One Function) ซึ่งให้ผลสรุปที่สำคัญ 3 รูปแบบ ดังนี้:

  • 1. ฐานเหมือนกัน: (เมื่อ ${\color{#1565c0}a} > 0$ และ ${\color{#1565c0}a} \neq 1$)
    $$ {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}x} = {\color{#1565c0}a}^{\color{#8e24aa}y} \implies {\color{#e65100}x} = {\color{#8e24aa}y} $$
  • 2. เลขชี้กำลังเหมือนกัน: (เมื่อ ${\color{#1565c0}a} \neq {\color{#00838f}b}$ และ ${\color{#1565c0}a},{\color{#00838f}b} > 0$)
    $$ {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}x} = {\color{#00838f}b}^{\color{#e65100}x} \implies {\color{#e65100}x} = 0 $$
  • 3. สมการรูปพหุนาม: (โดยที่ ${\color{#2e7d32}u} > 0$ เสมอ)
    $$ \text{สมมติตัวแปร } {\color{#2e7d32}u} = {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}x} $$
EN

To solve exponential equations, we rely on the one-to-one property of exponential functions, which yields 3 key principles:

  • 1. Same Base: (where ${\color{#1565c0}a} > 0$ and ${\color{#1565c0}a} \neq 1$)
    $$ {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}x} = {\color{#1565c0}a}^{\color{#8e24aa}y} \implies {\color{#e65100}x} = {\color{#8e24aa}y} $$
  • 2. Same Exponent: (where ${\color{#1565c0}a} \neq {\color{#00838f}b}$ and ${\color{#1565c0}a},{\color{#00838f}b} > 0$)
    $$ {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}x} = {\color{#00838f}b}^{\color{#e65100}x} \implies {\color{#e65100}x} = 0 $$
  • 3. Quadratic Form: (noting that ${\color{#2e7d32}u} > 0$ always)
    $$ \text{Substitute } {\color{#2e7d32}u} = {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}x} $$
2

📝 รูปแบบตัวอย่างสมการ 📝 Equation Examples

TH

เรามาดูตัวอย่างการแก้สมการในรูปแบบต่างๆ ตั้งแต่การทำฐานให้เท่ากันแบบง่ายๆ ไปจนถึงการแก้สมการในรูปพหุนามดีกรีสอง

EN

Let's explore various examples, ranging from simple same-base equations to quadratic forms in exponential equations.

Example 2.1

จงแก้สมการ $2^{x+3} = 32$

แปลง $32$ ให้กลายเป็นเลขยกกำลังฐาน $2$

$$ \begin{aligned} 2^{x+3} &= 2^5 \\ x + 3 &= 5 \\ x &= 5 - 3 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Solve the equation $2^{x+3} = 32$.

Convert $32$ into a power of base $2$.

$$ \begin{aligned} 2^{x+3} &= 2^5 \\ x + 3 &= 5 \\ x &= 5 - 3 \\ x &= 2 \end{aligned} $$
Example 2.2

จงแก้สมการ $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \frac{27}{8}$

สังเกตว่า $\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^3$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของฐานฝั่งซ้าย

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \\ 2x &= -3 \\ x &= -\frac{3}{2} \end{aligned} $$

Solve the equation $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \frac{27}{8}$.

Notice that $\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^3$, which is the reciprocal of the left base.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{3}{2}\right)^3 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} &= \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \\ 2x &= -3 \\ x &= -\frac{3}{2} \end{aligned} $$
Example 2.3

จงแก้สมการ $\left(\sqrt{3}\right)^{x-1} = 81$

เปลี่ยนรากที่สองให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลัง $\frac{1}{2}$

$$ \begin{aligned} \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{x-1} &= 3^4 \\ 3^{\frac{x-1}{2}} &= 3^4 \\ \frac{x-1}{2} &= 4 \\ x - 1 &= 8 \\ x &= 9 \end{aligned} $$

Solve the equation $\left(\sqrt{3}\right)^{x-1} = 81$.

Convert the square root to a fractional exponent of $\frac{1}{2}$.

$$ \begin{aligned} \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{x-1} &= 3^4 \\ 3^{\frac{x-1}{2}} &= 3^4 \\ \frac{x-1}{2} &= 4 \\ x - 1 &= 8 \\ x &= 9 \end{aligned} $$
Example 2.4

จงแก้สมการ $5^{2x-4} = 7^{2x-4}$

เมื่อฐานไม่เท่ากัน ($5 \neq 7$) สมการจะเป็นจริงเมื่อเลขชี้กำลังเป็นศูนย์เท่านั้น

$$ \begin{aligned} 2x - 4 &= 0 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Solve the equation $5^{2x-4} = 7^{2x-4}$.

When bases cannot be made equal ($5 \neq 7$), the exponent must be zero.

$$ \begin{aligned} 2x - 4 &= 0 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned} $$
Example 2.5

จงแก้สมการ $3^{x+1} - 3^x = 54$

แยก $3^{x+1}$ เป็น $3^x \cdot 3^1$ แล้วดึงตัวร่วม $3^x$ ออกมา

$$ \begin{aligned} 3^x \cdot 3^1 - 3^x &= 54 \\ 3^x(3 - 1) &= 54 \\ 3^x(2) &= 54 \\ 3^x &= 27 \\ 3^x &= 3^3 \\ x &= 3 \end{aligned} $$

Solve the equation $3^{x+1} - 3^x = 54$.

Split $3^{x+1}$ into $3^x \cdot 3^1$, then factor out $3^x$.

$$ \begin{aligned} 3^x \cdot 3^1 - 3^x &= 54 \\ 3^x(3 - 1) &= 54 \\ 3^x(2) &= 54 \\ 3^x &= 27 \\ 3^x &= 3^3 \\ x &= 3 \end{aligned} $$
Example 2.6

จงแก้สมการ $4^x - 3(2^x) - 4 = 0$

สังเกตว่า $4^x = (2^x)^2$ สมมติตัวแปร $A = 2^x$

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 3(2^x) - 4 &= 0 \\ A^2 - 3A - 4 &= 0 \quad (\text{ให้ } A = 2^x) \\ (A - 4)(A + 1) &= 0 \\ A &= 4 \text{ หรือ } A = -1 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับ $A = 2^x$:

กรณีที่ 1: $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

กรณีที่ 2: $2^x = -1$ **เป็นไปไม่ได้ (ไม่มีคำตอบ) เพราะ $2^x > 0$ เสมอ**

Solve the equation $4^x - 3(2^x) - 4 = 0$.

Notice that $4^x = (2^x)^2$. Substitute $A = 2^x$.

$$ \begin{aligned} (2^x)^2 - 3(2^x) - 4 &= 0 \\ A^2 - 3A - 4 &= 0 \quad (\text{let } A = 2^x) \\ (A - 4)(A + 1) &= 0 \\ A &= 4 \text{ or } A = -1 \end{aligned} $$

Substitute back $A = 2^x$:

Case 1: $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

Case 2: $2^x = -1$ **Impossible (No solution) because $2^x > 0$ always**

Example 2.7

จงแก้สมการ $2^x - 2^{3-x} = 2$

แยกเลขชี้กำลัง $2^{3-x} = \frac{8}{2^x}$ แล้วให้ $A = 2^x$

$$ \begin{aligned} 2^x - \frac{8}{2^x} &= 2 \\ A - \frac{8}{A} &= 2 \quad (\text{ให้ } A = 2^x) \\ A^2 - 2A - 8 &= 0 \\ (A - 4)(A + 2) &= 0 \\ A &= 4 \text{ หรือ } A = -2 \end{aligned} $$

เนื่องจาก $A = 2^x > 0$ เสมอ ดังนั้น $A = -2$ ใช้ไม่ได้
จะได้ $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

Solve the equation $2^x - 2^{3-x} = 2$.

Split the exponent $2^{3-x} = \frac{8}{2^x}$, then let $A = 2^x$.

$$ \begin{aligned} 2^x - \frac{8}{2^x} &= 2 \\ A - \frac{8}{A} &= 2 \quad (\text{let } A = 2^x) \\ A^2 - 2A - 8 &= 0 \\ (A - 4)(A + 2) &= 0 \\ A &= 4 \text{ or } A = -2 \end{aligned} $$

Since $A = 2^x > 0$ always, $A = -2$ is rejected.
We get $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies$ $x = 2$

Example 2.8

จงแก้สมการ $\sqrt{2^x} = \sqrt[3]{4}$

แปลงเครื่องหมายกรณฑ์ให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลังเศษส่วน

$$ \begin{aligned} (2^x)^{\frac{1}{2}} &= (2^2)^{\frac{1}{3}} \\ 2^{\frac{x}{2}} &= 2^{\frac{2}{3}} \\ \frac{x}{2} &= \frac{2}{3} \\ x &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

Solve the equation $\sqrt{2^x} = \sqrt[3]{4}$.

Convert radicals to fractional exponents.

$$ \begin{aligned} (2^x)^{\frac{1}{2}} &= (2^2)^{\frac{1}{3}} \\ 2^{\frac{x}{2}} &= 2^{\frac{2}{3}} \\ \frac{x}{2} &= \frac{2}{3} \\ x &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$
Example 2.9

จงแก้สมการ $\sqrt{5\sqrt{5}} = 5^x$

ค่อยๆ ถอดรากจากด้านในสุดออกมา แล้วใช้สมบัติการคูณเลขยกกำลัง

$$ \begin{aligned} \left(5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^x \\ \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^x \\ 5^{\frac{3}{4}} &= 5^x \\ x &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$

Solve the equation $\sqrt{5\sqrt{5}} = 5^x$.

Unpack radicals from inside out and apply exponent rules.

$$ \begin{aligned} \left(5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^x \\ \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^x \\ 5^{\frac{3}{4}} &= 5^x \\ x &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$
Example 2.10

จงแก้สมการ $\sqrt[x]{27} = 9$

เปลี่ยน $\sqrt[x]{\dots}$ ให้เป็นเลขชี้กำลังเศษส่วน $\frac{1}{x}$

$$ \begin{aligned} 27^{\frac{1}{x}} &= 9 \\ (3^3)^{\frac{1}{x}} &= 3^2 \\ 3^{\frac{3}{x}} &= 3^2 \\ \frac{3}{x} &= 2 \\ x &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

Solve the equation $\sqrt[x]{27} = 9$.

Convert $\sqrt[x]{\dots}$ to a fractional exponent $\frac{1}{x}$.

$$ \begin{aligned} 27^{\frac{1}{x}} &= 9 \\ (3^3)^{\frac{1}{x}} &= 3^2 \\ 3^{\frac{3}{x}} &= 3^2 \\ \frac{3}{x} &= 2 \\ x &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$
Example 2.11

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8^x}} = 4^{x-1}$

ปรับฐานเป็น $2$ ทั้งสองข้าง และย้ายตัวส่วนขึ้นมา

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(2^3)^{\frac{x}{2}}} &= (2^2)^{x-1} \\ 2^{-\frac{3x}{2}} &= 2^{2x-2} \\ -\frac{3x}{2} &= 2x - 2 \\ -3x &= 4x - 4 \\ x &= \frac{4}{7} \end{aligned} $$

Solve the equation $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8^x}} = 4^{x-1}$.

Adjust both bases to $2$ and bring up the denominator.

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(2^3)^{\frac{x}{2}}} &= (2^2)^{x-1} \\ 2^{-\frac{3x}{2}} &= 2^{2x-2} \\ -\frac{3x}{2} &= 2x - 2 \\ -3x &= 4x - 4 \\ x &= \frac{4}{7} \end{aligned} $$
Example 2.12

จงแก้สมการ $3^x - 4\sqrt{3^x} + 3 = 0$

สังเกตว่า $3^x = (\sqrt{3^x})^2$ จัดให้อยู่ในรูปพหุนามดีกรีสอง

$$ \begin{aligned} (\sqrt{3^x})^2 - 4\sqrt{3^x} + 3 &= 0 \\ A^2 - 4A + 3 &= 0 \quad (\text{ให้ } A = \sqrt{3^x}) \\ (A - 3)(A - 1) &= 0 \\ A &= 3 \text{ หรือ } A = 1 \end{aligned} $$

แทนค่ากลับ $A = \sqrt{3^x} = 3^{\frac{x}{2}}$:

กรณีที่ 1: $\sqrt{3^x} = 3 \implies \frac{x}{2} = 1 \implies$ $x = 2$

กรณีที่ 2: $\sqrt{3^x} = 1 \implies \frac{x}{2} = 0 \implies$ $x = 0$

$\text{เซตคำตอบคือ } \{0, 2\}$

Solve the equation $3^x - 4\sqrt{3^x} + 3 = 0$.

Notice that $3^x = (\sqrt{3^x})^2$. Arrange into quadratic form.

$$ \begin{aligned} (\sqrt{3^x})^2 - 4\sqrt{3^x} + 3 &= 0 \\ A^2 - 4A + 3 &= 0 \quad (\text{let } A = \sqrt{3^x}) \\ (A - 3)(A - 1) &= 0 \\ A &= 3 \text{ or } A = 1 \end{aligned} $$

Substitute back $A = \sqrt{3^x} = 3^{\frac{x}{2}}$:

Case 1: $\sqrt{3^x} = 3 \implies \frac{x}{2} = 1 \implies$ $x = 2$

Case 2: $\sqrt{3^x} = 1 \implies \frac{x}{2} = 0 \implies$ $x = 0$

$\text{Solution set is } \{0, 2\}$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Exponential ex- (out) + ponere (to place) เอกซ์โพเนนเชียล · เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กำลัง
Equation aequare (to make equal) สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ (=) เชื่อมระหว่างสองฝั่ง
Base basis (foundation) ฐาน · ตัวเลขที่ถูกคูณซ้ำๆ ด้วยตัวมันเองตามจำนวนของเลขชี้กำลัง
Exponent / Index exponere (to put forth) เลขชี้กำลัง · ตัวเลขขนาดเล็กที่เขียนไว้มุมขวาบน เพื่อบอกจำนวนครั้งที่ต้องคูณฐาน
Solution solvere (to loosen, unbind) คำตอบของสมการ · ค่าของตัวแปรที่นำไปแทนในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
One-to-One Function unus (one) ฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 · สมบัติของฟังก์ชันที่ใช้ตัดฐานเท่ากัน $a^x = a^y \implies x = y$
Substitute sub- (in place of) + statuere (set up) สมมติ / แทนที่ · การนำตัวแปรใหม่ (เช่น $A$ หรือ $u$) เข้ามาแทนนิพจน์ที่ซับซ้อนเพื่อให้แก้สมการง่ายขึ้น
Quadratic quadratus (made square) กำลังสอง (ดีกรีสอง) · พหุนามที่มีกำลังสูงสุดเป็น 2 เช่น $Ax^2+Bx+C=0$
Factorization factor (maker) + facere (to make) การแยกตัวประกอบ · การจัดพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณของพจน์ย่อย เช่น $(A-4)(A+1)=0$
Extraneous Solution extra (outside) + extraneus (foreign) คำตอบที่ไม่จริง / คำตอบแฝง · ค่าที่แก้ทางพีชคณิตได้แต่ต้องตัดทิ้งเพราะขัดกับเงื่อนไข เช่น $A = 2^x = -1$