เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

โดยปกติเราคุ้นเคยกับเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม (เช่น $x^2, y^{-3}$) แต่ในทางคณิตศาสตร์ เลขชี้กำลังสามารถเป็นจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) ได้ ซึ่งมีความสัมพันธ์โดยตรงกับ รากที่ $n$ (n-th root) การทำความเข้าใจหลักการนี้จะช่วยให้เราแก้สมการที่ซับซ้อนและจัดการกับเครื่องหมายกรณฑ์ (Radicals) ได้ง่ายขึ้น

We are familiar with integer exponents (e.g., $x^2, y^{-3}$). However, in mathematics, exponents can be rational numbers (fractions), which are directly related to the n-th root. Understanding this concept allows us to solve complex equations and manipulate radicals easily.

📖 บทนิยามของ $a^{\frac{1}{n}}$ 📖 Definition of $a^{\frac{1}{n}}$

เมื่อ ${\color{#1565c0}a}$ เป็นจำนวนจริง และ ${\color{#e65100}n}$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $1$ ถ้า ${\color{#1565c0}a}$ มีรากที่ ${\color{#e65100}n}$ จะได้ว่า:

$$ {\color{#1565c0}a}^{\frac{1}{{\color{#e65100}n}}} = \sqrt[{\color{#e65100}n}]{{\color{#1565c0}a}} $$

หมายเหตุ: ตัวส่วนของเศษส่วนคืออันดับของราก (Index of the root)

Let ${\color{#1565c0}a}$ be a real number and ${\color{#e65100}n}$ be an integer greater than $1$. If the n-th root of ${\color{#1565c0}a}$ exists, then:

$$ {\color{#1565c0}a}^{\frac{1}{{\color{#e65100}n}}} = \sqrt[{\color{#e65100}n}]{{\color{#1565c0}a}} $$

Note: The denominator of the fraction is the index of the root.

Example 1.1

จงหาค่าของ $9^{\frac{1}{2}}$

$$ \begin{aligned} 9^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{9} \\ &= \sqrt{3^2} \\ &= 3 \end{aligned} $$

Evaluate $9^{\frac{1}{2}}$

$$ \begin{aligned} 9^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{9} \\ &= \sqrt{3^2} \\ &= 3 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาค่าของ $64^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} 64^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{64} \\ &= \sqrt[3]{4^3} \\ &= 4 \end{aligned} $$

Evaluate $64^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} 64^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{64} \\ &= \sqrt[3]{4^3} \\ &= 4 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาค่าของ $(-32)^{\frac{1}{5}}$

$$ \begin{aligned} (-32)^{\frac{1}{5}} &= \sqrt[5]{-32} \\ &= \sqrt[5]{(-2)^5} \\ &= -2 \end{aligned} $$

Evaluate $(-32)^{\frac{1}{5}}$

$$ \begin{aligned} (-32)^{\frac{1}{5}} &= \sqrt[5]{-32} \\ &= \sqrt[5]{(-2)^5} \\ &= -2 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{\frac{1}{16}} \\ &= \sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^4} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{\frac{1}{16}} \\ &= \sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^4} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหาค่าของ $(0.027)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} (0.027)^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{0.027} \\ &= \sqrt[3]{(0.3)^3} \\ &= 0.3 \end{aligned} $$

Evaluate $(0.027)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} (0.027)^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{0.027} \\ &= \sqrt[3]{(0.3)^3} \\ &= 0.3 \end{aligned} $$

Example 1.6

พิจารณาค่าของ $(-16)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} (-16)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{-16} \\ &= \textbf{\color{#c62828}\text{ไม่เป็นจำนวนจริง}} \end{aligned} $$

Consider the value of $(-16)^{\frac{1}{4}}$

$$ \begin{aligned} (-16)^{\frac{1}{4}} &= \sqrt[4]{-16} \\ &= \textbf{\color{#c62828}\text{not a real number}} \end{aligned} $$

Example 1.7

จงเขียน $x^2 \sqrt[3]{y}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

$$ \begin{aligned} x^2 \sqrt[3]{y} &= x^2 \cdot y^{\frac{1}{3}} \\ &= x^2 y^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$

Write $x^2 \sqrt[3]{y}$ using rational exponents.

$$ \begin{aligned} x^2 \sqrt[3]{y} &= x^2 \cdot y^{\frac{1}{3}} \\ &= x^2 y^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$

📖 บทนิยามของ $a^{\frac{m}{n}}$ 📖 Definition of $a^{\frac{m}{n}}$

เมื่อนำหลักการยกกำลังมาผสมกัน หากเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน $\displaystyle \frac{{\color{#8e24aa}m}}{{\color{#e65100}n}}$ จะหมายถึง การหาค่าในส่วนของราก (ตัวส่วน ${\color{#e65100}n}$) แล้วค่อยนำผลลัพธ์ไปยกกำลัง (ตัวเศษ ${\color{#8e24aa}m}$) ซึ่งสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบที่มีค่าเท่ากัน (เมื่อ $\sqrt[{\color{#e65100}n}]{{\color{#1565c0}a}}$ เป็นจำนวนจริง):

$$ {\color{#1565c0}a}^{\frac{{\color{#8e24aa}m}}{{\color{#e65100}n}}} = \left(\sqrt[{\color{#e65100}n}]{{\color{#1565c0}a}}\right)^{\color{#8e24aa}m} = \sqrt[{\color{#e65100}n}]{{\color{#1565c0}a}^{\color{#8e24aa}m}} $$

💡 ** นิยมถอดรากที่ ${\color{#e65100}n}$ ก่อน แล้วค่อยยกกำลัง ${\color{#8e24aa}m}$ เพราะตัวเลขจะน้อยและคำนวณง่ายกว่า **

When the exponent is a fraction $\displaystyle \frac{{\color{#8e24aa}m}}{{\color{#e65100}n}}$, the denominator ${\color{#e65100}n}$ represents the root, and the numerator ${\color{#8e24aa}m}$ represents the power. It can be written in 2 equivalent forms (provided $\sqrt[{\color{#e65100}n}]{{\color{#1565c0}a}}$ is a real number):

💡 ** It is usually easier to evaluate the n-th root first, then apply the m-th power. **

Example 2.1

จงหาค่าของ $8^{\frac{2}{3}}$

$$ \begin{aligned} 8^{\frac{2}{3}} &= (\sqrt[3]{8})^2 \\ &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$

Evaluate $8^{\frac{2}{3}}$

$$ \begin{aligned} 8^{\frac{2}{3}} &= (\sqrt[3]{8})^2 \\ &= (2)^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาค่าของ $81^{\frac{3}{4}}$

$$ \begin{aligned} 81^{\frac{3}{4}} &= (\sqrt[4]{81})^3 \\ &= (3)^3 \\ &= 27 \end{aligned} $$

Evaluate $81^{\frac{3}{4}}$

$$ \begin{aligned} 81^{\frac{3}{4}} &= (\sqrt[4]{81})^3 \\ &= (3)^3 \\ &= 27 \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาค่าของ $27^{-\frac{2}{3}}$

จำได้ไหมว่า $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$ \begin{aligned} 27^{-\frac{2}{3}} &= \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} \\ &= \frac{1}{3^2} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned} $$

Evaluate $27^{-\frac{2}{3}}$

Recall that $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$ \begin{aligned} 27^{-\frac{2}{3}} &= \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} \\ &= \frac{1}{3^2} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาค่าของ $(-8)^{\frac{4}{3}}$

$$ \begin{aligned} (-8)^{\frac{4}{3}} &= (\sqrt[3]{-8})^4 \\ &= (-2)^4 \\ &= 16 \end{aligned} $$

Evaluate $(-8)^{\frac{4}{3}}$

$$ \begin{aligned} (-8)^{\frac{4}{3}} &= (\sqrt[3]{-8})^4 \\ &= (-2)^4 \\ &= 16 \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาค่าของ $4^{1.5}$

แปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนก่อนเสมอ

$$ \begin{aligned} 4^{1.5} &= 4^{\frac{15}{10}} \\ &= 4^{\frac{3}{2}} \\ &= (\sqrt{4})^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Evaluate $4^{1.5}$

Always convert the decimal to a fraction first.

$$ \begin{aligned} 4^{1.5} &= 4^{\frac{15}{10}} \\ &= 4^{\frac{3}{2}} \\ &= (\sqrt{4})^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Example 2.6

จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{16}{25}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{16}{25}\right)^{-\frac{3}{2}} &= \left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &= \left(\sqrt{\frac{25}{16}}\right)^3 \\ &= \left(\frac{5}{4}\right)^3 \\ &= \frac{125}{64} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \left(\frac{16}{25}\right)^{-\frac{3}{2}}$

Example 2.7

จงเขียนนิพจน์ $x^{\frac{5}{7}}$ ให้อยู่ในรูปกรณฑ์ (Radical form)

$$ \begin{aligned} x^{\frac{5}{7}} &= \sqrt[7]{x^5} \\ &= (\sqrt[7]{x})^5 \end{aligned} $$

Write the expression $x^{\frac{5}{7}}$ in radical form.

$$ \begin{aligned} x^{\frac{5}{7}} &= \sqrt[7]{x^5} \\ &= (\sqrt[7]{x})^5 \end{aligned} $$

⚙️ สมบัติของเลขยกกำลัง ⚙️ Properties of Exponents

สมบัติพื้นฐานของเลขยกกำลังที่เราเคยเรียนตอน ม.ต้น ยังคงใช้งานได้ปกติทุกประการแม้ว่าเลขชี้กำลังจะเป็นเศษส่วนก็ตาม ตัวอย่างสมบัติที่สำคัญ:

การคูณฐานเหมือนกัน: ${\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}m} \cdot {\color{#1565c0}a}^{\color{#8e24aa}n} = {\color{#1565c0}a}^{{\color{#e65100}m}{\color{#2e7d32}+}{\color{#8e24aa}n}}$
การหารฐานเหมือนกัน: $\displaystyle \frac{{\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}m}}{{\color{#1565c0}a}^{\color{#8e24aa}n}} = {\color{#1565c0}a}^{{\color{#e65100}m}{\color{#c62828}-}{\color{#8e24aa}n}}$
กำลังซ้อน: $({\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}m})^{\color{#8e24aa}n} = {\color{#1565c0}a}^{{\color{#e65100}m} \cdot {\color{#8e24aa}n}}$
การกระจายกำลัง (การคูณ): $({\color{#1565c0}a}{\color{#00838f}b})^{\color{#e65100}n} = {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}n} {\color{#00838f}b}^{\color{#e65100}n}$
การกระจายกำลัง (การหาร): $\displaystyle \left(\frac{{\color{#1565c0}a}}{{\color{#00838f}b}}\right)^{\color{#e65100}n} = \frac{{\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}n}}{{\color{#00838f}b}^{\color{#e65100}n}}$ (เมื่อ $b \neq 0$)

The standard laws of exponents we learned earlier still apply perfectly even when the exponents are rational numbers (fractions). Important properties include:

Product Rule: ${\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}m} \cdot {\color{#1565c0}a}^{\color{#8e24aa}n} = {\color{#1565c0}a}^{{\color{#e65100}m}{\color{#2e7d32}+}{\color{#8e24aa}n}}$
Quotient Rule: $\displaystyle \frac{{\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}m}}{{\color{#1565c0}a}^{\color{#8e24aa}n}} = {\color{#1565c0}a}^{{\color{#e65100}m}{\color{#c62828}-}{\color{#8e24aa}n}}$
Power of a Power: $({\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}m})^{\color{#8e24aa}n} = {\color{#1565c0}a}^{{\color{#e65100}m} \cdot {\color{#8e24aa}n}}$
Power of a Product: $({\color{#1565c0}a}{\color{#00838f}b})^{\color{#e65100}n} = {\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}n} {\color{#00838f}b}^{\color{#e65100}n}$
Power of a Quotient: $\displaystyle \left(\frac{{\color{#1565c0}a}}{{\color{#00838f}b}}\right)^{\color{#e65100}n} = \frac{{\color{#1565c0}a}^{\color{#e65100}n}}{{\color{#00838f}b}^{\color{#e65100}n}}$ (where $b \neq 0$)

Example 3.1

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} &= 2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \\ &= 2^{\frac{4}{2}} \\ &= 2^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$

Simplify: $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} &= 2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \\ &= 2^{\frac{4}{2}} \\ &= 2^2 \\ &= 4 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\displaystyle \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$

$$ \begin{aligned} \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}} &= 5^{\frac{7}{3} - \frac{1}{3}} \\ &= 5^{\frac{6}{3}} \\ &= 5^2 \\ &= 25 \end{aligned} $$

Simplify: $\displaystyle \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$

$$ \begin{aligned} \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}} &= 5^{\frac{7}{3} - \frac{1}{3}} \\ &= 5^{\frac{6}{3}} \\ &= 5^2 \\ &= 25 \end{aligned} $$

Example 3.3

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $(x^{\frac{2}{3}})^6$

$$ \begin{aligned} (x^{\frac{2}{3}})^6 &= x^{\frac{2}{3} \cdot 6} \\ &= x^{\frac{12}{3}} \\ &= x^4 \end{aligned} $$

Simplify: $(x^{\frac{2}{3}})^6$

$$ \begin{aligned} (x^{\frac{2}{3}})^6 &= x^{\frac{2}{3} \cdot 6} \\ &= x^{\frac{12}{3}} \\ &= x^4 \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาผลสำเร็จของ: $(8x^6y^9)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} (8x^6y^9)^{\frac{1}{3}} &= 8^{\frac{1}{3}} \cdot (x^6)^{\frac{1}{3}} \cdot (y^9)^{\frac{1}{3}} \\ &= \sqrt[3]{8} \cdot x^{\frac{6}{3}} \cdot y^{\frac{9}{3}} \\ &= 2x^2y^3 \end{aligned} $$

Simplify: $(8x^6y^9)^{\frac{1}{3}}$

Example 3.5

จงหาผลสำเร็จของ: $\displaystyle \left( \frac{27x^3}{y^6} \right)^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} \left( \frac{27x^3}{y^6} \right)^{\frac{1}{3}} &= \frac{27^{\frac{1}{3}} \cdot (x^3)^{\frac{1}{3}}}{(y^6)^{\frac{1}{3}}} \\ &= \frac{\sqrt[3]{27} \cdot x^{\frac{3}{3}}}{y^{\frac{6}{3}}} \\ &= \frac{3x}{y^2} \end{aligned} $$

Simplify: $\displaystyle \left( \frac{27x^3}{y^6} \right)^{\frac{1}{3}}$

Example 3.6

จงเขียน $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังอย่างง่าย

แปลงเครื่องหมายกรณฑ์เป็นเศษส่วนก่อนเพื่อให้บวกกันได้

$$ \begin{aligned} \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} &= x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} \\ &= x^{\frac{5}{6}} \end{aligned} $$

Write $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$ as a single expression with a rational exponent.

Convert radicals to fractions first so they can be added.

$$ \begin{aligned} \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} &= x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} \\ &= x^{\frac{5}{6}} \end{aligned} $$

Example 3.7

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและเลขชี้กำลังเป็นบวก: $\displaystyle \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6}$

$$ \begin{aligned} \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6} &= \frac{x^{(-\frac{2}{3})(-6)}}{y^{(\frac{1}{2})(-6)}} \\ &= \frac{x^4}{y^{-3}} \\ &= x^4 y^3 \end{aligned} $$

Simplify and express with positive exponents: $\displaystyle \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6}$

$$ \begin{aligned} \left( \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} \right)^{-6} &= \frac{x^{(-\frac{2}{3})(-6)}}{y^{(\frac{1}{2})(-6)}} \\ &= \frac{x^4}{y^{-3}} \\ &= x^4 y^3 \end{aligned} $$

Example 3.8

จงเขียน $\sqrt{x \sqrt{x}}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังอย่างง่าย

เริ่มทำจากด้านในสุดออกไปด้านนอก

$$ \begin{aligned} \sqrt{x \sqrt{x}} &= \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \sqrt{x^{1 + \frac{1}{2}}} \\ &= \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} \\ &= (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \\ &= x^{\frac{3}{4}} \end{aligned} $$

Write $\sqrt{x \sqrt{x}}$ as a single rational exponent.

Start from the innermost radical and work outward.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Exponent	ex- (out) + ponere (put)	เลขชี้กำลัง · ตัวเลขที่บอกจำนวนครั้งที่ฐานคูณกันเอง (ตั้งโชว์ออกไปด้านบน)
Rational Exponent	ratio (reason) + ex- (out) + ponere (put)	เลขชี้กำลังตรรกยะ · เลขชี้กำลังที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วน m/n
Base	basis (foundation)	ฐาน · ตัวเลขหลักที่ถูกนำมาคูณซ้ำตามจำนวนของเลขชี้กำลัง (รากฐาน)
Power	posse (to be able)	กำลัง / ยกกำลัง · ผลลัพธ์จากการคูณฐานซ้ำๆ
Radical	radix (root)	กรณฑ์ / เครื่องหมายราก · สัญลักษณ์ √ ใช้แสดงการถอดรากอันดับต่างๆ
Index	indicare (to point out)	อันดับของราก · ตัวเลขที่บ่งบอกระดับการถอดราก n (กำกับอยู่บนเครื่องหมายกรณฑ์)
Multiply	multus (many) + plicare (fold)	คูณ · การเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นเท่าตัวซ้ำๆ กัน (พับทบไปหลายๆ ครั้ง)
Fraction	frangere (to break)	เศษส่วน · จำนวนที่แสดงส่วนหนึ่งของทั้งหมด ประกอบด้วยตัวเศษและตัวส่วน
Denominator	de- (completely) + nominare (to name)	ตัวส่วน · ตัวเลขด้านล่างของเศษส่วน ในเรื่องนี้ใช้ระบุอันดับของราก n
Integer	in- (not) + tangere (touch)	จำนวนเต็ม · ตัวเลขที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยมประกอบ (คงความสมบูรณ์ ไม่ถูกแบ่งแยก)