ทบทวนเลขยกกำลังและสมบัติเบื้องต้น

ก่อนที่เราจะเริ่มศึกษา ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) อย่างเจาะลึก สิ่งสำคัญที่สุดคือการทบทวนพื้นฐานของ "เลขยกกำลัง" และสมบัติต่างๆ ที่เราเคยเรียนมา เพราะฟังก์ชันนี้จะมีตัวแปรอิสระ (เช่น $x$) อยู่ในตำแหน่งของเลขชี้กำลังนั่นเอง

Before diving deep into Exponential Functions, it is crucial to review the fundamentals of "Exponents" and their properties. In these functions, the independent variable (e.g., $x$) will be located in the exponent position.

📖 นิยามของเลขยกกำลัง 📖 Definition of Exponents

นิยาม: ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียน ${\color{#6a1b9a}a}^{\color{#ff6f00}n}$ (อ่านว่า "${\color{#6a1b9a}a}$ ยกกำลัง ${\color{#ff6f00}n}$") หมายถึงการนำ ${\color{#6a1b9a}a}$ มาคูณกันจำนวน ${\color{#ff6f00}n}$ ครั้ง

$$ {\color{#6a1b9a}a}^{\color{#ff6f00}n} = \underbrace{{\color{#6a1b9a}a} \times {\color{#6a1b9a}a} \times {\color{#6a1b9a}a} \times \dots \times {\color{#6a1b9a}a}}_{{\color{#ff6f00}n} \text{ ตัว}} $$

โดยที่ ${\color{#6a1b9a}a}$ เรียกว่า ฐาน (Base) และ ${\color{#ff6f00}n}$ เรียกว่า เลขชี้กำลัง (Exponent)

Definition: If $a$ is a real number and $n$ is a positive integer, ${\color{#6a1b9a}a}^{\color{#ff6f00}n}$ (read as "$a$ to the power of $n$") means multiplying ${\color{#6a1b9a}a}$ by itself ${\color{#ff6f00}n}$ times.

Here, ${\color{#6a1b9a}a}$ is called the Base, and ${\color{#ff6f00}n}$ is called the Exponent.

Example 1.1

จงหาค่าของ $3^4$

$$ \begin{aligned} 3^4 &= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \\ &= 81 \end{aligned} $$

Evaluate $3^4$

$$ \begin{aligned} 3^4 &= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \\ &= 81 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาค่าของ $(-2)^3$

$$ \begin{aligned} (-2)^3 &= (-2) \times (-2) \times (-2) \\ &= -8 \end{aligned} $$

Evaluate $(-2)^3$

$$ \begin{aligned} (-2)^3 &= (-2) \times (-2) \times (-2) \\ &= -8 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงเปรียบเทียบค่าของ $(-2)^4$ และ $-2^4$

ระวังความแตกต่างของวงเล็บ!

$$ \begin{aligned} (-2)^4 &= (-2)(-2)(-2)(-2) \\ &= 16 \\ -2^4 &= -(2 \times 2 \times 2 \times 2)\\ &= -16 \end{aligned} $$

Compare the values of $(-2)^4$ and $-2^4$

Watch out for the parentheses!

$$ \begin{aligned} (-2)^4 &= (-2)(-2)(-2)(-2)\\ &= 16 \\ -2^4 &= -(2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ &= -16 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาค่าของ $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^5$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^5 &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{32} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^5$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^5 &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{32} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหาค่าของ $(0.1)^3$

$$ \begin{aligned} (0.1)^3 &= 0.1 \times 0.1 \times 0.1 \\ &= 0.001 \end{aligned} $$

Evaluate $(0.1)^3$

$$ \begin{aligned} (0.1)^3 &= 0.1 \times 0.1 \times 0.1 \\ &= 0.001 \end{aligned} $$

⚙️ สมบัติของเลขยกกำลังที่จำเป็น ⚙️ Essential Properties of Exponents

เพื่อการจัดรูปสมการให้ง่ายขึ้น เราต้องแม่นยำในกฎพื้นฐานต่อไปนี้:

การคูณ: ฐานเหมือนกันคูณกัน นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน $\rightarrow a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
การหาร: ฐานเหมือนกันหารกัน นำเลขชี้กำลังมาลบกัน $\rightarrow \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
กำลังซ้อน: นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน $\rightarrow (a^m)^n = a^{mn}$
กำลังกระจาย: กระจายเข้าการคูณ/หารได้ $\rightarrow (ab)^n = a^n b^n$ และ $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
กำลังศูนย์: $\rightarrow a^0 = 1$ (โดยที่ $a \neq 0$)
กำลังติดลบ: กลับเศษเป็นส่วน $\rightarrow a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

To simplify equations efficiently, we must master these fundamental rules:

Product Rule: Same base, add exponents $\rightarrow a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Quotient Rule: Same base, subtract exponents $\rightarrow \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Power of a Power: Multiply exponents $\rightarrow (a^m)^n = a^{mn}$
Power of a Product/Quotient: Distribute exponent $\rightarrow (ab)^n = a^n b^n$ and $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Zero Exponent: $\rightarrow a^0 = 1$ (where $a \neq 0$)
Negative Exponent: Take reciprocal $\rightarrow a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Example 2.1

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\displaystyle \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$

$$ \begin{aligned} \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4} &= \frac{2^{5+3}}{2^4} \\ &= \frac{2^8}{2^4} \\ &= 2^{8-4} \\ &= 2^4 \\ &= 16 \end{aligned} $$

Simplify: $\displaystyle \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$

$$ \begin{aligned} \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4} &= \frac{2^{5+3}}{2^4} \\ &= \frac{2^8}{2^4} \\ &= 2^{8-4} \\ &= 2^4 \\ &= 16 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $(x^3)^4$

$$ \begin{aligned} (x^3)^4 &= x^{3 \times 4} \\ &= x^{12} \end{aligned} $$

Simplify: $(x^3)^4$

$$ \begin{aligned} (x^3)^4 &= x^{3 \times 4} \\ &= x^{12} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงกระจายและจัดรูป: $(3xy^2)^3$

$$ \begin{aligned} (3xy^2)^3 &= 3^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 \\ &= 27x^3y^6 \end{aligned} $$

Expand and simplify: $(3xy^2)^3$

$$ \begin{aligned} (3xy^2)^3 &= 3^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 \\ &= 27x^3y^6 \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาค่าของ $(5a^2b)^0$ เมื่อ $a,b \neq 0$

$$ \begin{aligned} (5a^2b)^0 &= 1 \quad \text{(เพราะฐานไม่เป็น 0)} \end{aligned} $$

Evaluate $(5a^2b)^0$ where $a,b \neq 0$

$$ \begin{aligned} (5a^2b)^0 &= 1 \quad \text{(since the base is not 0)} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาค่าของ $4^{-2}$

$$ \begin{aligned} 4^{-2} &= \frac{1}{4^2} \\ &= \frac{1}{16} \end{aligned} $$

Evaluate $4^{-2}$

$$ \begin{aligned} 4^{-2} &= \frac{1}{4^2} \\ &= \frac{1}{16} \end{aligned} $$

Example 2.6

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและให้เลขชี้กำลังเป็นบวก: $\displaystyle \frac{(2a^2b^{-1})^3}{a^4b^{-5}}$

$$ \begin{aligned} \frac{(2a^2b^{-1})^3}{a^4b^{-5}} &= \frac{2^3(a^2)^3(b^{-1})^3}{a^4b^{-5}} \\ &= \frac{8a^6b^{-3}}{a^4b^{-5}} \\ &= 8 \cdot a^{6-4} \cdot b^{-3-(-5)} \\ &= 8a^2b^2 \end{aligned} $$

Simplify and express with positive exponents: $\displaystyle \frac{(2a^2b^{-1})^3}{a^4b^{-5}}$

$$ \begin{aligned} \frac{(2a^2b^{-1})^3}{a^4b^{-5}} &= \frac{2^3(a^2)^3(b^{-1})^3}{a^4b^{-5}} \\ &= \frac{8a^6b^{-3}}{a^4b^{-5}} \\ &= 8 \cdot a^{6-4} \cdot b^{-3-(-5)} \\ &= 8a^2b^2 \end{aligned} $$

🔺 รากที่ n และเลขชี้กำลังตรรกยะ 🔺 N-th Root & Rational Exponents

เลขชี้กำลังไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มเสมอไป หากเลขชี้กำลังเป็น จำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) มันจะมีความหมายเชื่อมโยงกับ เครื่องหมายกรณฑ์ (รากที่ $n$) ดังนี้:

$$ a^{\frac{1}{{\color{#0097a7}n}}} = \sqrt[{\color{#0097a7}n}]{a} $$ $$ a^{\frac{{\color{#ff6f00}m}}{{\color{#0097a7}n}}} = \sqrt[{\color{#0097a7}n}]{a^{\color{#ff6f00}m}} = (\sqrt[{\color{#0097a7}n}]{a})^{\color{#ff6f00}m} $$

เทคนิค: ตัวเศษ ($m$) คือเลขชี้กำลังปกติ | ตัวส่วน ($n$) คืออันดับของราก

Exponents don't have to be integers. A rational exponent (fraction) is directly linked to radicals (the n-th root) as follows:

Tip: The numerator ($m$) is the standard power | the denominator ($n$) is the index of the root.

Example 3.1

จงหาค่าของ $27^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} 27^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{27} \\ &= \sqrt[3]{3^3} \\ &= 3 \end{aligned} $$

Evaluate $27^{\frac{1}{3}}$

$$ \begin{aligned} 27^{\frac{1}{3}} &= \sqrt[3]{27} \\ &= \sqrt[3]{3^3} \\ &= 3 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาค่าของ $16^{\frac{3}{4}}$

แนะนำให้หารากก่อนแล้วค่อยยกกำลังตัวเศษ

$$ \begin{aligned} 16^{\frac{3}{4}} &= (\sqrt[4]{16})^3 \\ &= (2)^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Evaluate $16^{\frac{3}{4}}$

It's easier to find the root first, then apply the power.

$$ \begin{aligned} 16^{\frac{3}{4}} &= (\sqrt[4]{16})^3 \\ &= (2)^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาค่าของ $8^{-\frac{2}{3}}$

$$ \begin{aligned} 8^{-\frac{2}{3}} &= \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2} \\ &= \frac{1}{(2)^2} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$

Evaluate $8^{-\frac{2}{3}}$

$$ \begin{aligned} 8^{-\frac{2}{3}} &= \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2} \\ &= \frac{1}{(2)^2} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงเขียน $\sqrt[5]{x^2}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

$$ \begin{aligned} \sqrt[5]{x^2} &= x^{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

Write $\sqrt[5]{x^2}$ as a rational exponent.

$$ \begin{aligned} \sqrt[5]{x^2} &= x^{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

Example 3.5

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}$

ใช้สมบัติการคูณ นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน (ทำส่วนให้เท่ากัน)

$$ \begin{aligned} x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} &= x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} \\ &= x^{\frac{5}{6}} \end{aligned} $$

Simplify: $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}$

Use product rule, add exponents (find common denominator).

$$ \begin{aligned} x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} &= x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} \\ &= x^{\frac{5}{6}} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Exponential Function	ex- (out) + ponere (put)	ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล · ฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระอยู่ในตำแหน่งของเลขชี้กำลัง
Exponent	ex- (out) + ponere (to place)	เลขชี้กำลัง · ตัวเลขที่บอกจำนวนครั้งที่ฐานคูณกันเอง
Base	basis (foundation)	ฐาน · ตัวเลขหลักที่ถูกนำมาคูณซ้ำตามจำนวนของเลขชี้กำลัง
Property	proprietas (special character)	สมบัติ · กฎพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เป็นจริงเสมอและใช้ในการลดรูปสมการ
Rational Number	ratio (reason, calculation)	จำนวนตรรกยะ · จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้
Radical / Root	radix (root)	กรณฑ์ / ราก · การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ตรงข้ามกับการยกกำลัง (เช่น รากที่สอง)
Index	indicare (to point out, indicate)	ดัชนี / อันดับของราก · ตัวเลขที่ระบุอันดับของกรณฑ์ (เช่น กรณฑ์อันดับที่ $n$)
Radicand	radix (root) + -and (to be acted upon)	จำนวนใต้กรณฑ์ · ตัวเลขหรือนิพจน์ที่อยู่ภายในเครื่องหมายกรณฑ์
Power	potere (to be able, power)	กำลัง · ผลลัพธ์ของการนำฐานมาคูณกันตามจำนวนของเลขชี้กำลัง
Reciprocal	reciprocus (returning back, alternating)	ส่วนกลับ · การสลับตำแหน่งระหว่างตัวเศษและตัวส่วน
Simplify	simplex (plain) + facere (to make)	การจัดรูปอย่างง่าย · การคำนวณและปรับรูปนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด