ความชันของเส้นตรง

ความชัน (Slope) คือปริมาณที่ใช้บอกความลาดเอียงและทิศทางของเส้นตรง ซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญมากในเรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ความชันจะช่วยให้เราทราบว่าเส้นตรงนั้นชันมากน้อยเพียงใด และเอียงไปในทิศทางใดเมื่อเทียบกับแกน X

Slope is a measure of the steepness and direction of a line. It is a fundamental concept in analytic geometry and calculus, helping us determine how steep a line is and in which direction it tilts relative to the X-axis.

📖 นิยามและสูตรการหาความชัน 📖 Definition & Formula

นิยาม: ความชัน (สัญลักษณ์ $m$) คือ อัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง (Rise) ต่อการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน (Run)

$$ {\color{#1565c0}{m}} = \frac{\color{#00838f}{\text{Rise}}}{\color{#e65100}{\text{Run}}} = \frac{\color{#00838f}{\text{การเปลี่ยนแปลงแนวดิ่ง}}}{\color{#e65100}{\text{การเปลี่ยนแปลงแนวนอน}}} = \frac{\color{#00838f}{\Delta y}}{\color{#e65100}{\Delta x}} $$

สูตรการหาความชันจากจุดสองจุด:
ถ้าเส้นตรงผ่านจุด $P_1(x_1, y_1)$ และ $P_2(x_2, y_2)$ โดยที่ $x_1 \neq x_2$ ความชันของเส้นตรงจะหาได้จาก:

$$ {\color{#1565c0}{m}} = \frac{\color{#00838f}{y_2 - y_1}}{\color{#e65100}{x_2 - x_1}} $$

Definition: The slope (symbol $m$) is defined as the ratio of the vertical change (Rise) to the horizontal change (Run).

$$ {\color{#1565c0}{m}} = \frac{\color{#00838f}{\text{Rise}}}{\color{#e65100}{\text{Run}}} = \frac{\color{#00838f}{\text{Vertical Change}}}{\color{#e65100}{\text{Horizontal Change}}} = \frac{\color{#00838f}{\Delta y}}{\color{#e65100}{\Delta x}} $$

Formula for Slope from Two Points:
If a line passes through points $P_1(x_1, y_1)$ and $P_2(x_2, y_2)$ where $x_1 \neq x_2$, the slope is calculated by:

$$ {\color{#1565c0}{m}} = \frac{\color{#00838f}{y_2 - y_1}}{\color{#e65100}{x_2 - x_1}} $$

Example 1.1

จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $A(2, 3)$ และ $B(5, 7)$

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{7 - 3}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

ความชันของเส้นตรงนี้คือ $\frac{4}{3}$ (ความชันเป็นบวก เส้นตรงลาดเอียงขึ้น)

Find the slope of the line passing through points $A(2, 3)$ and $B(5, 7)$.

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{7 - 3}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

The slope is $\frac{4}{3}$ (Positive slope, the line rises from left to right).

Example 1.2

จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $C(-1, 5)$ และ $D(3, 1)$

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{1 - 5}{3 - (-1)} \\ &= \frac{-4}{4} \\ &= -1 \end{aligned} $$

ความชันของเส้นตรงนี้คือ $-1$ (ความชันเป็นลบ เส้นตรงลาดเอียงลง)

Find the slope of the line passing through points $C(-1, 5)$ and $D(3, 1)$.

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{1 - 5}{3 - (-1)} \\ &= \frac{-4}{4} \\ &= -1 \end{aligned} $$

The slope is $-1$ (Negative slope, the line falls from left to right).

Example 1.3

จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $E(-2, 4)$ และ $F(4, 4)$

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{4 - 4}{4 - (-2)} \\ &= \frac{0}{6} \\ &= 0 \end{aligned} $$

ความชันของเส้นตรงนี้คือ $0$ (เส้นตรงขนานกับแกน X ในแนวนอน)

Find the slope of the line passing through points $E(-2, 4)$ and $F(4, 4)$.

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{4 - 4}{4 - (-2)} \\ &= \frac{0}{6} \\ &= 0 \end{aligned} $$

The slope is $0$ (Horizontal line parallel to the X-axis).

Example 1.4

จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $G(3, 1)$ และ $H(3, 6)$

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{6 - 1}{3 - 3} \\ &= \frac{5}{0} \quad \text{(ไม่นิยาม)} \end{aligned} $$

เส้นตรงนี้มีความชัน "ไม่นิยาม" (เส้นตรงตั้งฉากขนานกับแกน Y)

Find the slope of the line passing through points $G(3, 1)$ and $H(3, 6)$.

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{6 - 1}{3 - 3} \\ &= \frac{5}{0} \quad \text{(Undefined)} \end{aligned} $$

The slope is "Undefined" (Vertical line parallel to the Y-axis).

Example 1.5

ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด $A(1, y)$ และ $B(4, 8)$ มีความชันเท่ากับ $2$ จงหาค่าของ $y$

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ 2 &= \frac{8 - y}{4 - 1} \\ 2 &= \frac{8 - y}{3} \\ 6 &= 8 - y \\ y &= 8 - 6 \\ &= 2 \end{aligned} $$

พิกัดแกน Y ของจุด $A$ คือ $2$ หรือจุด $A$ คือ $(1, 2)$

If the line passing through points $A(1, y)$ and $B(4, 8)$ has a slope of $2$, find the value of $y$.

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ 2 &= \frac{8 - y}{4 - 1} \\ 2 &= \frac{8 - y}{3} \\ 6 &= 8 - y \\ y &= 8 - 6 \\ &= 2 \end{aligned} $$

The Y-coordinate of point $A$ is $2$, meaning point $A$ is $(1, 2)$.

📈 ลักษณะของความชันรูปแบบต่างๆ 📈 Types of Slope

ค่าของความชัน ($m$) สามารถบอกลักษณะกราฟเส้นตรงได้ 4 รูปแบบหลักๆ ดังนี้:

The value of the slope ($m$) indicates 4 main types of line graphs:

↗️

$m > 0$

ความชันเป็นบวก
เส้นตรงเฉียงขึ้นไปทางขวา (ทำมุมแหลมกับแกน X)

Positive Slope
Line rises from left to right (Forms an acute angle).

↘️

$m < 0$

ความชันเป็นลบ
เส้นตรงเฉียงลงไปทางขวา (ทำมุมป้านกับแกน X)

Negative Slope
Line falls from left to right (Forms an obtuse angle).

➡️

$m = 0$

ความชันเป็นศูนย์
เส้นตรงอยู่ในแนวนอนราบ (ขนานกับแกน X)

Zero Slope
Horizontal line (Parallel to the X-axis).

⬆️

$\infty$

ความชันหาค่าไม่ได้
เส้นตรงอยู่ในแนวดิ่ง (ขนานกับแกน Y) เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์

Undefined Slope
Vertical line (Parallel to the Y-axis) because denominator is zero.

Example 2.1

ตัวอย่างความชันเป็นบวก ($m > 0$): จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $A(1, 2)$ และ $B(4, 8)$

แทนค่าในสูตร $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$$ \begin{aligned} m &= \frac{8 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \end{aligned} $$

$\text{เนื่องจาก } m = 2 > 0 \text{ เส้นตรงนี้จึงเป็นความชันบวก (เฉียงขึ้นไปทางขวา)}$

Positive Slope Example ($m > 0$): Find the slope of the line passing through points $A(1, 2)$ and $B(4, 8)$.

Substitute into $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$$ \begin{aligned} m &= \frac{8 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \end{aligned} $$

$\text{Since } m = 2 > 0\text{, this line has a positive slope (rises from left to right).}$

Example 2.2

ตัวอย่างความชันเป็นลบ ($m < 0$): จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $C(-2, 5)$ และ $D(3, -5)$

ระวังเครื่องหมายลบซ้อนลบตอนแทนค่า

$$ \begin{aligned} m &= \frac{-5 - 5}{3 - (-2)} \\ &= \frac{-10}{3 + 2} \\ &= \frac{-10}{5} \\ &= -2 \end{aligned} $$

$\text{เนื่องจาก } m = -2 < 0 \text{ เส้นตรงนี้จึงเป็นความชันลบ (เฉียงลงไปทางขวา)}$

Negative Slope Example ($m < 0$): Find the slope of the line passing through points $C(-2, 5)$ and $D(3, -5)$.

Be careful with double negatives during substitution.

$$ \begin{aligned} m &= \frac{-5 - 5}{3 - (-2)} \\ &= \frac{-10}{3 + 2} \\ &= \frac{-10}{5} \\ &= -2 \end{aligned} $$

$\text{Since } m = -2 < 0\text{, this line has a negative slope (falls from left to right).}$

Example 2.3

ตัวอย่างความชันเป็นศูนย์ ($m = 0$): จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $E(2, 4)$ และ $F(7, 4)$

สังเกตว่าค่า $y$ ของทั้งสองจุดมีค่าเท่ากัน ($y_1 = y_2 = 4$)

$$ \begin{aligned} m &= \frac{4 - 4}{7 - 2} \\ &= \frac{0}{5} \\ &= 0 \end{aligned} $$

$\text{เนื่องจาก } m = 0 \text{ เส้นตรงนี้จึงอยู่ในแนวนอนขนานกับแกน X}$

Zero Slope Example ($m = 0$): Find the slope of the line passing through points $E(2, 4)$ and $F(7, 4)$.

Notice that the $y$-coordinates are equal ($y_1 = y_2 = 4$).

$$ \begin{aligned} m &= \frac{4 - 4}{7 - 2} \\ &= \frac{0}{5} \\ &= 0 \end{aligned} $$

$\text{Since } m = 0\text{, this line is horizontal (parallel to the X-axis).}$

Example 2.4

ตัวอย่างความชันหาค่าไม่ได้: จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $P(-3, -2)$ และ $Q(-3, 8)$

สังเกตว่าค่า $x$ ของทั้งสองจุดมีค่าเท่ากัน ($x_1 = x_2 = -3$)

$$ \begin{aligned} m &= \frac{8 - (-2)}{-3 - (-3)} \\ &= \frac{8 + 2}{-3 + 3} \\ &= \frac{10}{0} \quad \text{(หาค่าไม่ได้)} \end{aligned} $$

$\text{ตัวส่วนเป็นศูนย์ จึงหาค่าไม่ได้ (Undefined) หมายถึงเส้นตรงอยู่ในแนวดิ่งขนานกับแกน Y}$

Undefined Slope Example: Find the slope of the line passing through points $P(-3, -2)$ and $Q(-3, 8)$.

Notice that the $x$-coordinates are equal ($x_1 = x_2 = -3$).

$$ \begin{aligned} m &= \frac{8 - (-2)}{-3 - (-3)} \\ &= \frac{8 + 2}{-3 + 3} \\ &= \frac{10}{0} \quad \text{(Undefined)} \end{aligned} $$

$\text{Denominator is zero, so slope is undefined (vertical line parallel to Y-axis).}$

📐 ความสัมพันธ์กับมุมเอียง 📐 Relationship with Angle of Inclination

ความชันมีความสัมพันธ์โดยตรงกับมุมเอียง ($\theta$) ที่เส้นตรงทำกับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกา โดยมีสูตรความสัมพันธ์ดังนี้:

$$ {\color{#1565c0}{m}} = \tan {\color{#00838f}{\theta}} $$

เมื่อ $\theta$ คือมุมเอียง โดยที่ $0^\circ \le \theta < 180^\circ$ และ $\theta \neq 90^\circ$

Slope is directly related to the angle of inclination ($\theta$) formed with the positive X-axis counter-clockwise, given by the formula:

$$ {\color{#1565c0}{m}} = \tan {\color{#00838f}{\theta}} $$

Where $\theta$ is the angle of inclination such that $0^\circ \le \theta < 180^\circ$ and $\theta \neq 90^\circ$.

Example 3.1

เส้นตรงเส้นหนึ่งทำมุมเอียง $45^\circ$ กับแกน X ฝั่งบวก จงหาความชันของเส้นตรงนี้

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(45^\circ) \\ &= 1 \end{aligned} $$

เส้นตรงที่ทำมุมเอียง $45^\circ$ มีความชันเท่ากับ $1$

A line makes an angle of inclination of $45^\circ$ with the positive X-axis. Find its slope.

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(45^\circ) \\ &= 1 \end{aligned} $$

A line with an inclination of $45^\circ$ has a slope of $1$.

Example 3.2

จงหาความชันของเส้นตรงที่มีมุมเอียงเท่ากับ $60^\circ$

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(60^\circ) \\ &= \sqrt{3} \quad (\approx 1.732) \end{aligned} $$

ความชันของเส้นตรงนี้คือ $\sqrt{3}$

Find the slope of a line with an angle of inclination of $60^\circ$.

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(60^\circ) \\ &= \sqrt{3} \quad (\approx 1.732) \end{aligned} $$

The slope of this line is $\sqrt{3}$.

Example 3.3

จงหาความชันของเส้นตรงที่มีมุมเอียง $120^\circ$

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(120^\circ) \\ &= \tan(180^\circ - 60^\circ) \\ &= -\tan(60^\circ) \\ &= -\sqrt{3} \end{aligned} $$

เนื่องจากเป็นมุมป้าน ความชันจึงเป็นลบ ได้ $m = -\sqrt{3}$

Find the slope of a line with an inclination angle of $120^\circ$.

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(120^\circ) \\ &= \tan(180^\circ - 60^\circ) \\ &= -\tan(60^\circ) \\ &= -\sqrt{3} \end{aligned} $$

Since it is an obtuse angle, the slope is negative: $m = -\sqrt{3}$.

Example 3.4

เส้นตรงเส้นหนึ่งทำมุมเอียง $135^\circ$ กับแกน X ฝั่งบวก จงหาความชัน

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(135^\circ) \\ &= \tan(180^\circ - 45^\circ) \\ &= -\tan(45^\circ) \\ &= -1 \end{aligned} $$

เส้นตรงที่ทำมุมเอียง $135^\circ$ มีความชันเท่ากับ $-1$

A line makes an inclination angle of $135^\circ$ with the positive X-axis. Find its slope.

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ &= \tan(135^\circ) \\ &= \tan(180^\circ - 45^\circ) \\ &= -\tan(45^\circ) \\ &= -1 \end{aligned} $$

A line with an inclination of $135^\circ$ has a slope of $-1$.

Example 3.5

เส้นตรงมีความชัน $m = -1$ จงหามุมเอียง $\theta$ ของเส้นตรงนี้

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ -1 &= \tan \theta \\ \theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ &= 135^\circ \end{aligned} $$

มุมเอียงของเส้นตรงที่มีความชัน $-1$ คือ $135^\circ$

A line has a slope of $m = -1$. Find its angle of inclination $\theta$.

$$ \begin{aligned} m &= \tan \theta \\ -1 &= \tan \theta \\ \theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ &= 135^\circ \end{aligned} $$

The angle of inclination of a line with slope $-1$ is $135^\circ$.

Example 3.6

เส้นตรงผ่านจุด $A(1, 2)$ และ $B(4, 5)$ จงหามุมเอียง $\theta$ ของเส้นตรงนี้

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{5 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{3}{3} \\ &= 1 \\ \tan \theta &= 1 \\ \theta &= 45^\circ \end{aligned} $$

มุมเอียงของเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองคือ $45^\circ$

A line passes through points $A(1, 2)$ and $B(4, 5)$. Find its inclination angle $\theta$.

$$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{5 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{3}{3} \\ &= 1 \\ \tan \theta &= 1 \\ \theta &= 45^\circ \end{aligned} $$

The angle of inclination passing through the two points is $45^\circ$.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Slope / Gradient	-	ความชัน · ปริมาณที่บอกความลาดเอียงของเส้นตรง
Analytic Geometry	analysis (breaking up) + geo (earth) + metria (measure)	เรขาคณิตวิเคราะห์ · การศึกษาเรขาคณิตโดยใช้ระบบพิกัดและพีชคณิต
Coordinate	co- (together) + ordinare (to order)	พิกัด · ชุดตัวเลข (เช่น x, y) ที่ใช้ระบุตำแหน่งจุดบนระนาบ
Inclination Angle	in- (into) + clinare (to bend/lean)	มุมเอียง · มุมที่เส้นตรงกระทำกับแกน X ฝั่งบวก
Horizontal	horizon (bounding line)	แนวนอน · ขนานกับแนวราบพื้นดิน หรือขนานกับแกน X (ความชัน = 0)
Vertical	vertex (highest point)	แนวดิ่ง · ตั้งฉากกับแนวราบ หรือขนานกับแกน Y (ความชันหาค่าไม่ได้)
Rise	rīsan (to ascend)	ระยะแนวดิ่ง · การเปลี่ยนแปลงของพิกัดในแนวตั้ง ($\Delta y$)
Run	rinnan (to run, flow)	ระยะแนวนอน · การเปลี่ยนแปลงของพิกัดในแนวนอน ($\Delta x$)
Parallel	para- (beside) + allelon (one another)	ขนาน · เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตัดกัน และมีความชันเท่ากัน ($m_1 = m_2$)
Perpendicular	perpendicularis (plumb line)	ตั้งฉาก · เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันทำมุม 90 องศา ผลคูณความชันเท่ากับ -1 ($m_1 \cdot m_2 = -1$)
Tangent	tangere (to touch)	แทนเจนต์ · อัตราส่วนตรีโกณมิติที่ใช้อธิบายความชันจากมุมเอียง ($m = \tan \theta$)
Collinear	com- (together) + linea (line)	ร่วมเส้นตรงเดียวกัน · จุดตั้งแต่ 3 จุดขึ้นไปที่วางตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน