สมบัติของลอการิทึม

ลอการิทึม (Logarithm) คือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล การทำความเข้าใจ สมบัติของลอการิทึม ทั้ง 6 ข้อ จะเปรียบเสมือนการมีเครื่องมือทรงพลังที่ช่วยให้เราสามารถยุบ กระจาย หรือปรับเปลี่ยนรูปสมการที่ซับซ้อนให้สามารถคำนวณและหาคำตอบได้อย่างง่ายดาย

The Logarithm is the inverse function of exponentiation. Understanding the 6 Properties of Logarithms gives us powerful tools to condense, expand, or manipulate complex equations, making them much easier to solve and evaluate.

สมบัติพื้นฐาน ผลคูณ และผลหาร Basic, Product, & Quotient Rules

กลุ่มแรกคือสมบัติที่ใช้งานบ่อยที่สุด ซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าคงที่พื้นฐานและการจัดการกลุ่มตัวแปรที่คูณหรือหารกันอยู่ โดยมีเงื่อนไขว่าฐาน $a > 0$ และ $a \neq 1$ รวมถึงอาร์กิวเมนต์ $M, N > 0$

1. สมบัติพื้นฐาน (Basic Properties):

$$ \textcolor{#3949ab}{\log_a 1 = 0} \qquad \text{และ} \qquad \textcolor{#3949ab}{\log_a a = 1} $$

2. ล็อกของผลคูณ (Product Rule) —
                                    (คูณแยกเป็นบวก):

$$ \textcolor{#2e7d32}{\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N} $$

3. ล็อกของผลหาร (Quotient Rule)
                                —
                                    (หารแยกเป็นลบ):
                            

$$ \textcolor{#ff6f00}{\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N} $$

The first group consists of the most frequently used properties, dealing with basic constants and multiplication/division of arguments, given base $a > 0$, $a \neq 1$, and arguments $M, N > 0$.

1. Basic Properties:

$$ \textcolor{#3949ab}{\log_a 1 = 0} \qquad \text{and} \qquad \textcolor{#3949ab}{\log_a a = 1} $$

2. Product Rule — (Product becomes
                                    Sum):

$$ \textcolor{#2e7d32}{\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N} $$

3. Quotient Rule — (Quotient becomes
                                    Difference):

$$ \textcolor{#ff6f00}{\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N} $$

Example 1.1

จงหาค่าของ $\log_5 1 + \log_3 3$

$$ \begin{aligned} \log_5 1 + \log_3 3 &= 0 + 1 \\ &= 1 \end{aligned} $$

Evaluate $\log_5 1 + \log_3 3$

$$ \begin{aligned} \log_5 1 + \log_3 3 &= 0 + 1 \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงยุบรวมนิพจน์ $\log_2 4 + \log_2 8$ และหาค่าผลลัพธ์

$$ \begin{aligned} \log_2 4 + \log_2 8 &= \log_2 (4 \times 8) \\ &= \log_2 32 \\ &= \log_2 (2^5) \\ &= 5 \end{aligned} $$

Condense the expression $\log_2 4 + \log_2 8$ and evaluate.

$$ \begin{aligned} \log_2 4 + \log_2 8 &= \log_2 (4 \times 8) \\ &= \log_2 32 \\ &= \log_2 (2^5) \\ &= 5 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาค่าของ $\log_3 54 - \log_3 2$

$$ \begin{aligned} \log_3 54 - \log_3 2 &= \log_3 \left(\frac{54}{2}\right) \\ &= \log_3 27 \\ &= \log_3 (3^3) \\ &= 3 \end{aligned} $$

Evaluate $\log_3 54 - \log_3 2$

$$ \begin{aligned} \log_3 54 - \log_3 2 &= \log_3 \left(\frac{54}{2}\right) \\ &= \log_3 27 \\ &= \log_3 (3^3) \\ &= 3 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงกระจายนิพจน์ $\log_a (xyz)$

$$ \begin{aligned} \log_a (xyz) &= \log_a x + \log_a y + \log_a z \end{aligned} $$

Expand the expression $\log_a (xyz)$

$$ \begin{aligned} \log_a (xyz) &= \log_a x + \log_a y + \log_a z \end{aligned} $$

Example 1.5

จงกระจายและจัดรูป $\displaystyle \log \left(\frac{100}{x}\right)$

(หมายเหตุ: $\log$ ที่ไม่มีฐานกำกับ คือลอการิทึมสามัญฐาน $10$)

$$ \begin{aligned} \log \left(\frac{100}{x}\right) &= \log 100 - \log x \\ &= \log_{10} (10^2) - \log x \\ &= 2 - \log x \end{aligned} $$

Expand and simplify $\displaystyle \log \left(\frac{100}{x}\right)$

(Note: $\log$ without a specified base is common log base $10$)

$$ \begin{aligned} \log \left(\frac{100}{x}\right) &= \log 100 - \log x \\ &= \log_{10} (10^2) - \log x \\ &= 2 - \log x \end{aligned} $$

Example 1.6

จงยุบรวมนิพจน์ $\log_a x + \log_a y - \log_a z$ ให้เป็นล็อกก้อนเดียว

$$ \begin{aligned} \log_a x + \log_a y - \log_a z &= (\log_a x + \log_a y) - \log_a z \\ &= \log_a (xy) - \log_a z \\ &= \log_a \left(\frac{xy}{z}\right) \end{aligned} $$

Condense $\log_a x + \log_a y - \log_a z$ into a single logarithm.

$$ \begin{aligned} \log_a x + \log_a y - \log_a z &= (\log_a x + \log_a y) - \log_a z \\ &= \log_a (xy) - \log_a z \\ &= \log_a \left(\frac{xy}{z}\right) \end{aligned} $$

Example 1.7

จงหาค่าของ $\log_6 2 + \log_6 18$

$$ \begin{aligned} \log_6 2 + \log_6 18 &= \log_6 (2 \times 18) \\ &= \log_6 36 \\ &= \log_6 (6^2) \\ &= 2 \end{aligned} $$

Evaluate $\log_6 2 + \log_6 18$

$$ \begin{aligned} \log_6 2 + \log_6 18 &= \log_6 (2 \times 18) \\ &= \log_6 36 \\ &= \log_6 (6^2) \\ &= 2 \end{aligned} $$

การปลดเลขชี้กำลัง และการตัดฐาน Power Rules & Base Cancellation

สมบัติในกลุ่มนี้ช่วยในการนำ "เลขชี้กำลัง" ออกมานอกล็อกเพื่อให้คำนวณง่ายขึ้น รวมถึงสมบัติพิเศษที่ล็อกสามารถหักล้างกับฐานเอกซ์โพเนนเชียลได้

1. ตบกำลังของหลังล็อก (Power of
                                Argument) —
                                    (ตบไปเป็นตัวเศษ):

$$ \textcolor{#3949ab}{\log_a M^k = k \log_a M} $$

2. ตบกำลังของฐานล็อก (Power of Base)
                                —
                                    (ตบไปเป็นตัวส่วน):
                            

$$ \textcolor{#2e7d32}{\log_{a^k} M = \frac{1}{k} \log_a M} $$

3. การตัดฐานเลขยกกำลังด้วยล็อก
                                (Exponentiation Cancellation):

$$ \textcolor{#ff6f00}{a^{\log_a M} = M} \\ \text{\small(เมื่อฐานเลขยกกำลัง เท่ากับ ฐานของล็อก)} $$

These properties allow us to pull "exponents" out of the logarithm for simpler calculations, and include a special cancellation property when logs and exponentials interact.

1. Power of Argument — (Moves to
                                    numerator):

$$ \textcolor{#3949ab}{\log_a M^k = k \log_a M} $$

2. Power of Base — (Moves to
                                    denominator):

$$ \textcolor{#2e7d32}{\log_{a^k} M = \frac{1}{k} \log_a M} $$

3. Exponentiation Cancellation:

$$ \textcolor{#ff6f00}{a^{\log_a M} = M} \\ \text{\small(When exponential base equals log base)} $$

Example 2.1

จงหาค่าของ $\log_2 2^5$

$$ \begin{aligned} \log_2 2^5 &= 5 \log_2 2 \\ &= 5(1) \\ &= 5 \end{aligned} $$

Evaluate $\log_2 2^5$

$$ \begin{aligned} \log_2 2^5 &= 5 \log_2 2 \\ &= 5(1) \\ &= 5 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาค่าของ $\log_8 2$

$$ \begin{aligned} \log_8 2 &= \log_{2^3} 2 \\ &= \frac{1}{3} \log_2 2 \\ &= \frac{1}{3}(1) \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Evaluate $\log_8 2$

$$ \begin{aligned} \log_8 2 &= \log_{2^3} 2 \\ &= \frac{1}{3} \log_2 2 \\ &= \frac{1}{3}(1) \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาค่าของ $\log_9 27$

$$ \begin{aligned} \log_9 27 &= \log_{3^2} (3^3) \\ &= \frac{3}{2} \log_3 3 \\ &= \frac{3}{2}(1) \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\log_9 27$

$$ \begin{aligned} \log_9 27 &= \log_{3^2} (3^3) \\ &= \frac{3}{2} \log_3 3 \\ &= \frac{3}{2}(1) \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาค่าของ $5^{\log_5 12}$

$$ \begin{aligned} 5^{\log_5 12} &= 12 \end{aligned} $$

Evaluate $5^{\log_5 12}$

$$ \begin{aligned} 5^{\log_5 12} &= 12 \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาค่าของ $10^{\log 4}$

(อย่าลืมว่า $\log$ เปล่าๆ คือฐาน $10$)

$$ \begin{aligned} 10^{\log 4} &= 10^{\log_{10} 4} \\ &= 4 \end{aligned} $$

Evaluate $10^{\log 4}$

(Remember that empty $\log$ means base $10$.)

$$ \begin{aligned} 10^{\log 4} &= 10^{\log_{10} 4} \\ &= 4 \end{aligned} $$

Example 2.6

จงยุบรวมนิพจน์ $3 \log_a x - 2 \log_a y$

$$ \begin{aligned} 3 \log_a x - 2 \log_a y &= \log_a (x^3) - \log_a (y^2) \\ &= \log_a \left(\frac{x^3}{y^2}\right) \end{aligned} $$

Condense the expression $3 \log_a x - 2 \log_a y$

$$ \begin{aligned} 3 \log_a x - 2 \log_a y &= \log_a (x^3) - \log_a (y^2) \\ &= \log_a \left(\frac{x^3}{y^2}\right) \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาค่าของ $\log_{\sqrt{2}} 8$

$$ \begin{aligned} \log_{\sqrt{2}} 8 &= \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^3) \\ &= \frac{3}{\frac{1}{2}} \log_2 2 \\ &= \left(3 \times \frac{2}{1}\right)(1) \\ &= 6 \end{aligned} $$

Evaluate $\log_{\sqrt{2}} 8$

$$ \begin{aligned} \log_{\sqrt{2}} 8 &= \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^3) \\ &= \frac{3}{\frac{1}{2}} \log_2 2 \\ &= \left(3 \times \frac{2}{1}\right)(1) \\ &= 6 \end{aligned} $$

การเปลี่ยนฐาน และสลับฐาน Change of Base & Swapping

สมบัติเหล่านี้มีประโยชน์มากเมื่อโจทย์ให้ลอการิทึมที่มีฐานต่างกันมาและไม่สามารถคำนวณร่วมกันได้โดยตรง เราสามารถปรับเปลี่ยนฐานใหม่หรือพลิกสลับบนล่างได้ตามต้องการ

1. การเปลี่ยนฐานล็อก (Change of Base
                                Rule) — (เลือกฐาน
                                    $b$ ใหม่ได้ตามใจชอบ):

$$ \textcolor{#ff6f00}{\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}} $$

2. สมบัติการสลับฐาน (Swapping Base &
                                Argument) —
                                    (สลับฐานกับอาร์กิวเมนต์กลายเป็นส่วนกลับ):

$$ \textcolor{#2e7d32}{\log_a b = \frac{1}{\log_b a}} $$

These properties are highly useful when dealing with logarithms of different bases that cannot be directly computed together. We can introduce a new base or flip the logarithm.

1. Change of Base Rule — (Select any valid
                                    new base $b$):

$$ \textcolor{#ff6f00}{\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}} $$

2. Swapping Property — (Swapping base &
                                    argument gives reciprocal):

$$ \textcolor{#2e7d32}{\log_a b = \frac{1}{\log_b a}} $$

Example 3.1

จงหาค่าของ $\log_2 3 \cdot \log_3 4$

$$ \begin{aligned} \log_2 3 \cdot \log_3 4 &= \left(\frac{\log 3}{\log 2}\right) \cdot \left(\frac{\log 4}{\log 3}\right) \\ &= \frac{\log 4}{\log 2} \\ &= \log_2 4 \\ &= \log_2 (2^2) = 2 \end{aligned} $$

Evaluate $\log_2 3 \cdot \log_3 4$

Example 3.2

จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10} &= \log_{10} 2 + \log_{10} 5 \\ &= \log_{10} (2 \times 5) \\ &= \log_{10} 10 \\ &= 1 \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10} &= \log_{10} 2 + \log_{10} 5 \\ &= \log_{10} (2 \times 5) \\ &= \log_{10} 10 \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{\log_7 16}{\log_7 2}$

$$ \begin{aligned} \frac{\log_7 16}{\log_7 2} &= \log_2 16 \\ &= \log_2 (2^4) \\ &= 4 \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \frac{\log_7 16}{\log_7 2}$

$$ \begin{aligned} \frac{\log_7 16}{\log_7 2} &= \log_2 16 \\ &= \log_2 (2^4) \\ &= 4 \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาค่าของ $\log_3 5 \cdot \log_5 9$

$$ \begin{aligned} \log_3 5 \cdot \log_5 9 &= \left(\frac{\log 5}{\log 3}\right) \cdot \left(\frac{\log 9}{\log 5}\right) \\ &= \frac{\log 9}{\log 3} \\ &= \log_3 9 \\ &= \log_3 (3^2) = 2 \end{aligned} $$

Evaluate $\log_3 5 \cdot \log_5 9$

Example 3.5

จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย $(\log_a b)(\log_b c)(\log_c a)$

$$ \begin{aligned} (\log_a b)(\log_b c)(\log_c a) &= \left(\frac{\log b}{\log a}\right) \left(\frac{\log c}{\log b}\right) \left(\frac{\log a}{\log c}\right) \\ &= \frac{\log b \cdot \log c \cdot \log a}{\log a \cdot \log b \cdot \log c} \\ &= 1 \end{aligned} $$

Simplify $(\log_a b)(\log_b c)(\log_c a)$

Example 3.6

กำหนดให้ $\log_2 5 = a$ จงหาค่าของ $\log_8 5$ ในรูปของ $a$

$$ \begin{aligned} \log_8 5 &= \frac{\log_2 5}{\log_2 8} \\ &= \frac{a}{\log_2 (2^3)} \\ &= \frac{a}{3} \end{aligned} $$

Given $\log_2 5 = a$, find $\log_8 5$ in terms of $a$.

$$ \begin{aligned} \log_8 5 &= \frac{\log_2 5}{\log_2 8} \\ &= \frac{a}{\log_2 (2^3)} \\ &= \frac{a}{3} \end{aligned} $$

Example 3.7

จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย $\displaystyle \frac{1}{\log_x (xyz)} + \frac{1}{\log_y (xyz)} + \frac{1}{\log_z (xyz)}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\log_x (xyz)} + \dots &= \log_{xyz} x + \log_{xyz} y + \log_{xyz} z \\ &= \log_{xyz} (x \cdot y \cdot z) \\ &= \log_{xyz} (xyz) \\ &= 1 \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{1}{\log_x (xyz)} + \frac{1}{\log_y (xyz)} + \frac{1}{\log_z (xyz)}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\log_x (xyz)} + \dots &= \log_{xyz} x + \log_{xyz} y + \log_{xyz} z \\ &= \log_{xyz} (x \cdot y \cdot z) \\ &= \log_{xyz} (xyz) \\ &= 1 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึม

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Logarithm	logos (proportion) + arithmos (number)	ลอการิทึม · ฟังก์ชันผกผันของการยกกำลัง ใช้หาค่าเลขชี้กำลัง
Base	basis (foundation)	ฐาน · ตัวเลขห้อยด้านล่างของล็อก ซึ่งก็คือฐานของเลขยกกำลัง
Argument	arguere (to make clear, prove)	หลังล็อก / อาร์กิวเมนต์ · ค่าที่อยู่ภายในฟังก์ชันลอการิทึม (ตัวเลข M, N)
Property	proprietas (special character)	สมบัติ · กฎหรือลักษณะเฉพาะทางคณิตศาสตร์ที่เป็นจริงเสมอ
Product	pro- (forward) + ducere (to lead)	ผลคูณ · ผลลัพธ์จากการคูณ
Quotient	quotiens (how many times)	ผลหาร · ผลลัพธ์จากการหาร (สัดส่วน)
Evaluate	ex- (out) + valere (to be strong, worth)	หาค่า / ประเมินค่า · การคำนวณนิพจน์เพื่อหาผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลข
Condense	con- (together) + densare (to make thick)	ยุบรวม · การจัดรูปนิพจน์ลอการิทึมหลายก้อนรวมเป็นก้อนเดียว
Expand	ex- (out) + pandere (to spread out)	กระจาย · การแยกนิพจน์ลอการิทึมก้อนเดียวออกเป็นหลายพจน์บวก/ลบ
Exponent	ex- (out) + ponere (to place)	เลขชี้กำลัง · ตัวเลขชี้กำลังที่บอกจำนวนครั้งในการคูณซ้ำของฐาน
Reciprocal	re- (back) + pro- (forward)	ส่วนกลับ · จำนวนที่เมื่อนำมาคูณกับจำนวนเดิมแล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1
Cancellation	cancellare (to cross out, lattice)	การหักล้าง / การตัดกัน · การตัดกันของฐานเลขยกกำลังและฐานลอการิทึม