กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันที่มีคาบ (Periodic Functions) หมายความว่ากราฟจะมีรูปแบบซ้ำๆ กันเมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งรอบ การวิเคราะห์กราฟเหล่านี้มีความสำคัญมากในการประยุกต์ใช้กับเรื่องคลื่น เสียง และการแกว่งในวิชาฟิสิกส์

Trigonometric functions are periodic functions, meaning their graphs repeat in a regular pattern over a specific interval. Analyzing these graphs is essential for applications involving waves, sound, and oscillation in physics.

ลักษณะกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ Characteristics of Sine and Cosine Graphs

กราฟของฟังก์ชัน $y = \sin(x)$ และ $y = \cos(x)$ มีลักษณะเป็นเส้นโค้งรูปคลื่น (Wave) ที่ต่อเนื่องกันไปเรื่อยๆ ทั้งสองด้าน มีลักษณะเด่นดังนี้:

โดเมน (Domain): จำนวนจริงทั้งหมด ($-\infty, \infty$)
เรนจ์ (Range): $[-1, 1]$ ซึ่งหมายความว่า ค่าสูงสุดคือ $1$ และ ค่าต่ำสุดคือ $-1$
จุดตัดแกน x (x-intercepts):
สำหรับ $\sin(x)$ คือ $x = n\pi$
สำหรับ $\cos(x)$ คือ $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม)

The graphs of $y = \sin(x)$ and $y = \cos(x)$ are continuous wave-like curves with the following key features:

Domain: All real numbers ($-\infty, \infty$)
Range: $[-1, 1]$, meaning the maximum value is $1$ and the minimum is $-1$.
x-intercepts:
For $\sin(x)$: $x = n\pi$
For $\cos(x)$: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (where $n$ is an integer)

— y = sin(x) — y = cos(x)

แอมพลิจูดและคาบ Amplitude and Period

ในสมการรูปแบบมาตรฐาน $y = {\color{#e65100}{A}} \sin({\color{#00838f}{B}}x)$ หรือ $y = {\color{#e65100}{A}} \cos({\color{#00838f}{B}}x)$ เราสามารถหาความสูงและความยาวของคลื่นได้ดังนี้:

แอมพลิจูด (Amplitude): คือครึ่งหนึ่งของระยะระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุด คำนวณจาก $|A|$ (แอมพลิจูดต้องเป็นบวกเสมอ)
คาบ (Period): คือความยาวบนแกน x ที่กราฟทำครบรอบพอดี คำนวณจาก $\frac{2\pi}{|B|}$

For standard equations like $y = {\color{#e65100}{A}} \sin({\color{#00838f}{B}}x)$ or $y = {\color{#e65100}{A}} \cos({\color{#00838f}{B}}x)$, we can determine the wave's height and length:

Amplitude: Half the distance between the maximum and minimum values. Calculated as $|A|$ (always positive).
Period: The length of one complete cycle along the x-axis. Calculated as $\frac{2\pi}{|B|}$.

Example 2.1

จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชัน $y = 3 \sin(2x)$

$$ \begin{aligned} \text{จากรูปแบบ } y &= A \sin(Bx) \\ \text{จะได้ } A &= 3 \text{ และ } B = 2 \\ \text{แอมพลิจูด } &= |A| \\ &= |3| \\ &= 3 \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{2} \\ &= \pi \end{aligned} $$

Find the amplitude and period of $y = 3 \sin(2x)$

$$ \begin{aligned} \text{From form } y &= A \sin(Bx) \\ \text{We get } A &= 3 \text{ and } B = 2 \\ \text{Amplitude } &= |A| \\ &= |3| \\ &= 3 \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{2} \\ &= \pi \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชัน $\displaystyle y = -2 \cos\left(\frac{x}{2}\right)$

(ถึงแม้สัมประสิทธิ์จะติดลบ แต่แอมพลิจูดต้องเป็นค่าบวกเสมอ)

$$ \begin{aligned} \text{จากรูปแบบ } y &= A \cos(Bx) \\ \text{จะได้ } A &= -2 \text{ และ } B = \frac{1}{2} \\ \text{แอมพลิจูด } &= |A| \\ &= |-2| \\ &= 2 \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} \\ &= 2\pi \times 2 \\ &= 4\pi \end{aligned} $$

Find the amplitude and period of $\displaystyle y = -2 \cos\left(\frac{x}{2}\right)$

(Amplitude is always positive, even if the coefficient is negative)

$$ \begin{aligned} \text{From form } y &= A \cos(Bx) \\ \text{We get } A &= -2 \text{ and } B = \frac{1}{2} \\ \text{Amplitude } &= |A| \\ &= |-2| \\ &= 2 \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} \\ &= 2\pi \times 2 \\ &= 4\pi \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชัน $\displaystyle y = \frac{1}{2} \sin(4\pi x)$

$$ \begin{aligned} \text{จากรูปแบบ } y &= A \sin(Bx) \\ \text{จะได้ } A &= \frac{1}{2} \text{ และ } B = 4\pi \\ \text{แอมพลิจูด } &= |A| \\ &= \left|\frac{1}{2}\right| \\ &= \frac{1}{2} \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{|4\pi|} \\ &= \frac{1}{2} \quad \text{(คาบไม่จำเป็นต้องติดตัวแปร }\pi\text{)} \end{aligned} $$

Find the amplitude and period of $\displaystyle y = \frac{1}{2} \sin(4\pi x)$

$$ \begin{aligned} \text{From form } y &= A \sin(Bx) \\ \text{We get } A &= \frac{1}{2} \text{ and } B = 4\pi \\ \text{Amplitude } &= |A| \\ &= \left|\frac{1}{2}\right| \\ &= \frac{1}{2} \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{|4\pi|} \\ &= \frac{1}{2} \quad \text{(Period does not need to have }\pi\text{)} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชัน $y = 5 \cos(-3x)$

(ฟังก์ชันโคไซน์มีสมบัติสมมาตรแบบ $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ ดังนั้น $\cos(-3x) = \cos(3x)$)

$$ \begin{aligned} \text{จากรูปแบบ } y &= A \cos(Bx) \\ \text{จะได้ } A &= 5 \text{ และ } B = -3 \\ \text{แอมพลิจูด } &= |A| \\ &= |5| \\ &= 5 \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{|-3|} \\ &= \frac{2\pi}{3} \end{aligned} $$

Find the amplitude and period of $y = 5 \cos(-3x)$

(Cosine is an even function: $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, so $\cos(-3x) = \cos(3x)$)

$$ \begin{aligned} \text{From form } y &= A \cos(Bx) \\ \text{We get } A &= 5 \text{ and } B = -3 \\ \text{Amplitude } &= |A| \\ &= |5| \\ &= 5 \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{|-3|} \\ &= \frac{2\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน $y = 4 \sin(x)$

(ค่าของกราฟไซน์ปกติตกอยู่ในช่วง $[-1, 1]$)

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } -1 &\le \sin(x) \le 1 \\ \text{นำ } 4 \text{ คูณตลอด} & \text{อสมการ จะได้ } \\ 4(-1) &\le 4\sin(x) \le 4(1) \\ -4 &\le 4\sin(x) \le 4 \\[6pt] \text{ดังนั้น ค่าสูงสุด } &= 4 \\ \text{ค่าต่ำสุด } &= -4 \end{aligned} $$

Find the maximum and minimum values of $y = 4 \sin(x)$

(The normal sine graph ranges from $[-1, 1]$)

$$ \begin{aligned} \text{Since } -1 &\le \sin(x) \le 1 \\ \text{Multiply by } 4 & \text{ across the inequality:} \\ 4(-1) &\le 4\sin(x) \le 4(1) \\ -4 &\le 4\sin(x) \le 4 \\[6pt] \text{Therefore, Maximum value } &= 4 \\ \text{Minimum value } &= -4 \end{aligned} $$

Example 2.6

จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน $y = 3 \cos(2x) + 1$

(ในกรณีที่มีการบวกหรือลบด้านหลัง แสดงว่ากราฟถูกเลื่อนแกน y)

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } -1 &\le \cos(2x) \le 1 \\ \text{นำ } 3 \text{ คูณตลอด} & \text{อสมการ จะได้ } \\ -3 &\le 3\cos(2x) \le 3 \\ \text{นำมาบวก } 1 & \text{ ทั้งสองขอบเขต จะได้} \\ -3 + 1 &\le 3\cos(2x) + 1 \le 3 + 1 \\ -2 &\le 3\cos(2x) + 1 \le 4 \\[6pt] \text{ดังนั้น ค่าสูงสุด } &= 4 \\ \text{ค่าต่ำสุด } &= -2 \end{aligned} $$

Find the maximum and minimum values of $y = 3 \cos(2x) + 1$

(Addition or subtraction at the end indicates a vertical shift)

$$ \begin{aligned} \text{Since } -1 &\le \cos(2x) \le 1 \\ \text{Multiply by } 3 & \text{ across the inequality:} \\ -3 &\le 3\cos(2x) \le 3 \\ \text{Add } 1 & \text{ to all parts:} \\ -3 + 1 &\le 3\cos(2x) + 1 \le 3 + 1 \\ -2 &\le 3\cos(2x) + 1 \le 4 \\[6pt] \text{Therefore, Maximum value } &= 4 \\ \text{Minimum value } &= -2 \end{aligned} $$

Example 2.7

จงเขียนสมการของกราฟฟังก์ชันไซน์ที่มีแอมพลิจูดเท่ากับ $6$ และคาบเท่ากับ $\displaystyle \frac{2\pi}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{รูปแบบสมการ } y &= A \sin(Bx) \\ \text{จากโจทย์แอมพลิจูด } A &= 6 \\ \text{และ คาบ } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ \frac{2\pi}{5} &= \frac{2\pi}{|B|} \\ |B| &= 5 \\ B &= 5 \quad \text{(นิยมใช้ค่าบวก)} \\[6pt] \text{สมการคือ } y &= 6 \sin(5x) \end{aligned} $$

Write the equation of a sine function with an amplitude of $6$ and a period of $\displaystyle \frac{2\pi}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{Standard form } y &= A \sin(Bx) \\ \text{Given amplitude } A &= 6 \\ \text{and period } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ \frac{2\pi}{5} &= \frac{2\pi}{|B|} \\ |B| &= 5 \\ B &= 5 \quad \text{(Positive value is typically used)} \\[6pt] \text{The equation is } y &= 6 \sin(5x) \end{aligned} $$

กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ (Tan, Csc, Sec, Cot) Graphs of Other Functions (Tan, Csc, Sec, Cot)

ฟังก์ชันอื่นๆ นอกเหนือจากไซน์และโคไซน์ จะมีรูปแบบเศษส่วน (เช่น $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$) ทำให้มีจุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ ซึ่งจุดเหล่านั้นกราฟจะไม่นิยามและเกิดเป็น เส้นกำกับแนวตั้ง (Vertical Asymptote)

กราฟแทนเจนต์ (Tangent): ไม่มีแอมพลิจูด (ยืดไปถึงอนันต์) และมีคาบเท่ากับ $\pi$ เส้นกำกับอยู่ที่ $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
กราฟโคแทนเจนต์ (Cotangent): คาบเท่ากับ $\pi$ เช่นกัน แต่เส้นกำกับอยู่ที่ $x = n\pi$
กราฟเซแคนต์ (Secant): (ส่วนกลับของ Cosine) กราฟมีลักษณะเป็นเส้นโค้งรูปตัว U หงายและคว่ำสลับกัน คาบคือ $2\pi$ เส้นกำกับอยู่ที่ $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
กราฟโคเซแคนต์ (Cosecant): (ส่วนกลับของ Sine) กราฟมีลักษณะเป็นเส้นโค้งรูปตัว U หงายและคว่ำสลับกัน คาบคือ $2\pi$ เส้นกำกับอยู่ที่ $x = n\pi$

Other trigonometric functions involve denominators (e.g., $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$). Where the denominator is zero, the function is undefined, creating Vertical Asymptotes.

Tangent Graph: Has no amplitude (extends to infinity) and a period of $\pi$. Asymptotes at $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.
Cotangent Graph: Also has a period of $\pi$, but asymptotes are at $x = n\pi$.
Secant Graph: (Reciprocal of Cosine) Alternating upward and downward U-shaped curves. Their period is $2\pi$. Asymptotes at $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.
Cosecant Graph: (Reciprocal of Sine) Alternating upward and downward U-shaped curves. Their period is $2\pi$. Asymptotes at $x = n\pi$.

— y = tan(x) - - - Asymptote

— y = cot(x) - - - Asymptote

— y = sec(x) - - - y = cos(x) - - - Asymptote

— y = csc(x) - - - y = sin(x) - - - Asymptote

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Prefix	ความหมาย / Meaning
Amplitude	amplitudo (wide, broad)	แอมพลิจูด · ความสูงของคลื่น วัดจากแกนกลางไปยังจุดสูงสุดหรือต่ำสุด
Period	peri- (around) + hodos (way)	คาบ / รอบเวลา · ระยะทางบนแกน x ที่กราฟวาดครบ 1 รอบสมบูรณ์พอดี
Asymptote	a- (not) + sympiptein (fall together)	เส้นกำกับ · เส้นตรงที่กราฟวิ่งเข้าใกล้ไปเรื่อยๆ แต่ไม่มีทางตัดหรือสัมผัส
Intercept	inter- (between) + capere (to catch)	จุดตัดแกน · ตำแหน่งที่เส้นกราฟตัดผ่านแกน x หรือแกน y
Sine Wave	sinus (curve, fold)	คลื่นรูปไซน์ · ลักษณะเส้นโค้งที่ขึ้นลงอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
Tangent	tangere (to touch)	แทนเจนต์ · เส้นสัมผัส หรืออัตราส่วน sin(x)/cos(x) ซึ่งมีความยาวไม่จำกัดและมีคาบเท่ากับ $\pi$
Secant	secare (to cut)	เซแคนต์ · เส้นตัด หรือฟังก์ชันส่วนกลับของโคไซน์ (1/cos) มีลักษณะเป็นเส้นโค้งรูปตัว U หงายและคว่ำ
Phase Shift	phasis (appearance) + scyftan (to shift)	การเลื่อนเฟส · การเลื่อนตำแหน่งของกราฟไปทางซ้ายหรือขวาตามแนวแกน x
Domain & Range	domus (home) + rang (row)	โดเมนและเรนจ์ · ขอบเขตของอินพุต (ค่า x) และเอาต์พุต (ค่า y) ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของฟังก์ชัน